Page 59 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

KOMBÝNASYON

Çö züm:
Çö züm:
A B = {1, 2, 3, 4, …, 10, 11, 12} ol du ðun-
dan iki ele man ha riç di ðer on ele ma nýn gi de bi le -

ce ði iki yer var dýr. Bu da 2 . 2 . … . 2 = 2 10 = 1024
tür. Þim di bu çö zü mü bi raz aça lým. Her ele ma nýn gi de bi le ce ði iki ku tu var dýr. Fa kat A nýn
ele man sa yý sý A ku tu su na ve B nin ele man sa yý sý B ku tu su na gi de me ye ce ðin den iki ele man
için tek du rum ola ca ðýn dan so ru da ve ri len þart la rý sað la yan (A, B) iki li le ri nin sa yý sý
2 10 = 1024 tür. Fa kat s(A) = s(B) = 6 du ru mu yu ka rý da ki þart la ra uy ma mak ta dýr. Bu na
gö re, iki ele man ke na ra alýn dý ðýn dan, 10 ele man dan beþ el eman se çil me si du ru mu tüm

du rumdan çý kar tý lýr. den, aranan ce vap 2 10 – 252 = 772 bu lu nur.

r nek:
Ö Ör nek:
A = {1, 2, 3, 4, …, 14, 15} kü me si nin aþa ðý da ki þart la rý sað la yan kaç fark lý S alt kü -
me si var dýr?

1) Ar dý þýk iki tam sa yý S alt kü me si nin ele ma ný de ðil dir.
2) S alt kü me si nin ele man sa yý sý k ise, S alt kü me sin de ki her bir sa yý k dan kü çük
de ðil dir.
Çö züm:
Çö züm:
A = {1, 2, 3, …, n} kü me si nin her han gi iki ele ma ný ar dý þýk tam sa yý içer me yen
r- ele man lý alt kü me sa yý sý 0 r n – r + 1 için C(n – r + 1, r) dir þek lin de bir ge nel le -
me ya pa bi li riz.
Bu na gö re,

k = 1 için (ya ni kü me bir ele man lý ol sun. {1, 2, 3, 4, …, 14, 15} kü me sin den se çi len

bir ele man so ru da ki þart la rý sað lar. Bu da tir.

k = 2 için (ya ni kü me iki ele man lý ol sun. S alt kü me sin de ki her bir sa yý k dan kü çük
de ðil dir. Bu na gö re alt kü me yi se çe ce ði miz kü me, {2, 3, 4, …, 14, 15} kü me sin den ola cak týr.

Ar dý þýk iki ele man içer me yen iki ele man lý kü me sa yý sý; dir.

58 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk