Page 57 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

KOMBÝNASYON

r nek:
Ö Ör nek:
{1, 2, 3, …, n} kü me si nin her bir boþ kü me den fark lý alt kü me si üze rin de al ter na tif top lam
aþa ðý da ki gi bi ta ným la ný yor. Alt kü me nin ele man la rý bü yük ten kü çü ðe doð ru sý ra la ný yor. Da ha
son ra bu ele man la rýn önü ne + iþe re tin den baþ la ya rak, sý ray la + , –, +, – … þek lin de iþa ret ler ya -
zý lý yor. Örneğin, {1, 2, 4, 6, 9} alt kü me si nin al ter na tif top la mý; 9 – 6 + 4 – 2 + 1 = 6 olup {5}
için ise al ter na tif top lam 5 tir. Bu na gö re {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kü me si nin tüm al ter na tif top lam la -
rý nýn top la mý kaç týr?
Çö züm:
Çö züm:
S, {1, 2, 3, 4, 5, 6} kü me si nin boþ kü me den fark lý bir alt kü me si ol sun. Ör ne ðin
S = {1, 2, 5, 6} için al ter na tif top lam A = 6 – 5 + 2 – 1 = 1 iken S 7 için al ter na -
tif top lam B = 7 – 6 + 5 – 2 + 1
A + B = 7 dir. x ∈ {1, 2, 3, …, n} kü me sin de x in için de bu lun du ðu tüm alt kü me le -
rin sa yý sý ile bu lun ma dý ðý alt kü me le rin sa yý sý bir bi ri ne eþit ol du ðun dan, {1, 2, 3, 4, 5, 6,
6
7} kü me si nin 7 nin için de bu lun du ðu alt kü me le rin sa yý sý 2 = 64 ve 7 nin için de bu lun -
6
ma dý ðý boþ kü me den fark lý alt kü me le rin sa yý sý 2 – 1 = 63 tür.
Bu ra da 7 boþ kü me ye kar þý lýk gel di ðin den tüm alt kü me le rin al ter na tif top lam la rý nýn
top la mý; 64 . 7 = 448 dir.

r nek:
Ö Ör nek:
1. {1, 2, 3, 4, 5} kü me si nin üç ele man lý alt kü me le ri nin sa yý sý, C(5,3)=10 dur. Bu
on fark lý ya zý lý mýn {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4},
{2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5} þe kil de ki di zi li þi ne kü me nin al fa be tik di zi li þi diye lim.

Buna gö re, bu di zi liþ te {1, 3, 5} alt kü me si nin sý ra sý 5 tir. Bu na gö re, {1, 2, 3, …, 9, 10}
kümesinin dört elemanlý alt kü me le ri nin kü me nin al fa be tik di zi li þi ya zý lý yor. {3, 4, 5, 6} ve
{3, 5, 7, 9} kü me le ri nin bu di zi liþ te ki sý ra la rý ný bu lu nuz.
Çö züm:
Çö züm:
Ön ce 1 ile baþ la yan dört ele man lý kaç alt kü me ol du ðu nu bu la lým. 1 in ol du ðu {2, 3, …,

9, 10} kü me si nin 3 ele man lý alt kü me le ri nin sa yý sý; tür. 2 ile baþ la yan 1 in

bu lun ma dý ðý, ya ni 2 nin ol du ðu {3, …, 9, 10} kü me si nin 3 ele man lý alt kü me le ri nin sa yý -
8
8.7.6
sý, 56 dýr. 3 ile baþ la yan alt kü me le rin sa yý sý; tir.
6
3

56 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk