Page 505 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

OYUN STRATEJÝLERÝ ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 11.1

ii) a > 0 için, (1, a, a + 1) durumuna getirirse (oyuna baþlayan) kazanýr. Burak ilk
kutuyu sýfýrlarsa Ayþe durumu (0, a, a) yaparak kazanmayý (yukarýdaki strateji ile
oynayarak) garantiler. Þayet Burak ilk kutudan taþ almazsa, Burak'ýn hamlesine
karþý Ayþe kutularý (1, b, b + 1) durumuna getircek þekilde oynar. Sonlu adýmdan
sonra Ayþe oynadýðýnda kutudaki taþlar (1, 0, 1) olacak ve oyunu kazanmayý Ayþe
garantilemiþ olacak. Burak (1, b, 0) yaptýðýnda Ayþe (1, 1, 0) yaparak oyunu
kazanmayý yine garantiler.
Ayþe,

(1, 2014, 2016) (1, 2014, 2015) haline getirip ii den oyunu kazanýr.
(2015, 2015, 2016 (2015, 2015, 0) haline getirip i den oyunu kazanýr.

(2015, 2016, 2017) (2015, 2016, 1) haline getirip ii den oyunu kazanýr.
(2015, 2016, 2018) (2015, 2016, 1) haline getirip ii den oyunu kazanýr.
(2015, 2017, 2017) (0, 2017, 2017) haline getirip i den oyunu kazanýr.

15. Tah ta ya **…* þe kil de n = 2013, 2015, 2017, 2019, 2021 sa yý da yýl dýz çi zi li yor. A ve B
isim li iki oyun cu sý ray la, sý ra sý ge le ni ni ham le si ni yap tý ðý bir oyun oy nu yor lar. Oyu na A
baþ lý yor ve yýl dýz lar dan bi ri ni si lip ye ri ne bir ra kam ya zý yor. (ilk ra kam sý fýr ola maz, en sol -
da ki yýl dý zýn ye ri ne sý fýr ya zý la maz.) En son olu þan sa yý 11 ile bö lü nü yor sa oyu nu A, bö -
lün mü yor sa B ka za ný yor. Bu na gö re n nin kaç de ðe ri için oyu nu B ka za nýr?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 0
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap A)
Oyunu n tek tam sayýsý için oyunu her zaman B nin kazanacaðýný gösterelim. Yýldýzlar
sýrasýyla 1, 2, 3, …, 2k + 1 þeklinde numara verelim. Tek numaralý k + 1 tane ve çift
numaralý k tane yýldýz olacaktýr. Eðer A oyuncusu çift numaralý yýldýza c rakamý
yazarsa, B oyuncusu tek numaralý yýldýza c rakamýný yazar. (1. yýldýz hariç) A oyun-
cusu 1. Yer dýþýnda tek numaralý yere c rakamýný yazarsa B de çift numaralý yere c
rakamýný yazar. A ilk yýldýzýn yerine yazana kadar B bu stratejisine devam eder. A ilk
yýldýzýn yerine d yazarsa, B, 2. Yýldýzýn yerine d – 1 yazar. Bu þekilde oynadýklarýnda A
oyuncusu ilk yere yazana kadar sayýda bir deðiþiklik olmaz. Eðer A ilk yere yazarsa, B
ikinciye d – 1 yazar ve A nýn bir sonraki sayýyý yazdýðý yer tekse çift bir yere, çiftse tek
bir yere ayný rakamý yazar. A nýn en son yazacaðý rakam mod11 de 10 olamayacaðýn-
dan sayý 11 ile bölünmez. O halde, n tek tam sayýsý için oyunu her zaman B kazanýr.

504 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk