Page 504 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 11.1 OYUN STRATEJÝLERÝ

13. Ali ile Ahmet þu þekilde tanýmlanan bir oyun oynuyorlar. {0, 1, 2, 3, …, 999} sayýlarý
arasýndan bir sayý seçilip ve Ali'ye veriliyor. Sayýyý alan Ali, sayýyý 2 ile çarpýp Ahmet'e
veriyor. Ahmet aldýðý sayýya 50 ekleyerek tekrar Ali'ye veriyor. Bu þekilde devam
edildiðinde 1000 den büyük veya eþit sayý söylemek zorunda kalan oyunu kaybediyor.
Bu oyunu Ali'nin kazanmasý için baþta Ali'ye verilen en küçük sayý N olduðuna göre,
N'nin rakamlarý toplamý kaçtýr?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap A)
Ali'nin kazanmasý için Ali'nin son söylediði sayý [950,999] arasýnda bir sayý olmalýdýr.
Örneðin Aliye verilen sayý 1 olsa Ali'nin Ahmet'e verdiði sayýlar sýrasýyla, 2,104,308,716
olacak ve bu durumda oyunu Ahmet kazanacaktýr. Buna göre Ali'ye verilen ilk sayý x
olsun.
x 2x 2x + 50 4x + 100 4x + 150 8x + 300 8x + 350 16x + 700
olup 950 < 16x + 700 < 1000 ise 16x > 250 ve x 16 dýr. x = 16 için
16x + 700 = 956 elde edilir. 956 dan geriye doðru gidildiðinde

956 478 428 214 164 82 32 16 olup 16 nýn rakamlarý toplamý
ise 1 + 6 = 7 dir.

14. Baþ lan gýç ta üç ku tu da sý ra sýy la, m, n ve k ta ne taþ bu lu nu yor. Ay þe ve Bu rak sý ray la
ham le ya pý yor lar ve sý ra sý ge len oyun cu is te di ði bir ku tu dan en az bir ta ne ol mak üze -
re, is te di ði sa yý da taþ alý yor. Son ta þý alan oyun cu oyu nu ka za ný yor. Oyu na her se fer Ay -
þe baþ la mak üze re, oyun (m, n, k) = (1, 2014, 2016), (2015, 2015, 2016), (2015,
2016, 2017), (2015, 2016, 2018), (2015, 2017, 2017) için bi rer kez oy na nýr sa, Ay þe
bun lar dan en az ka çý ný ka zan ma yý ga ran ti le ye bi lir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
Oyuna baþlayan (m, n, k) kutularýndaki taþ sayýsýný;
i) a > 0 için, (0, a, a) durumuna getirirse (oyuna baþlayan) kazanýr. Oyuna baþlayan
Ayþe kutulardaki taþ sayýsýný (0, a, a) durumuna getirdiðinde Burak bir hamle
yapacak. Ayþe Burak'ýn taþ aldýðý kutunun diðerinden Burak'ýn aldýðý taþ kadar
alarak, Burak'ýn kutulardan birindeki taþ sayýsýný sýfýr yapmaya zorlayacak. Daha
sonra sýrasý geldiðinden, taþ olan son kutudaki taþlarýn tamamýný alarak oyunu
kazanacak.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 503