Page 508 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 11.2 OYUN STRATEJÝLERÝ

5. Tah ta ya 1, 2, 3, …, 2010 sa yý la rý ya zý lý yor. Ýki oyun cu sý ra sý ge le nin ham le si ni yap tý ðý,
tah ta da ki her han gi iki sa yý yý si lip bun la rýn ye ri ne bir sa yý yaz dýk la rý bir oyun oy nu yor -
lar. Oyu na ilk baþ la yan tah ta da ki a, b sa yý la rý ný si lip bun la rýn ye ri ne ab – a – b ya zar -
ken ikin ci oyun cu ise a, b sa yý la rý ný si lip bun la rýn ye ri ne ab + a + b sa yý sý ný ya zý yor.
Son ka lan sa yý 2010! kü çük ise bi rin ci ka za ný yor, de ðil se ikin ci oyun cu ka za ný yor. Bu -
na gö re, oyu nu han gi stra te ji ile kim ka za nýr?
Çö züm:
Çö züm:
Ýlk oyun cu nun her za man ka za na ca ðý bir stra te ji var dýr. Ýlk oyun cu a = 1, b seç ti ðin -
de bun la rýn ye ri ne –1 ya zar. Bu na gö re ne ga tif bir sa yý oyu na gir miþ olur. Ýkin ci oyun -
cu –1 ve t se çer se, bu iki sa yý nýn ye ri ne yi ne bun la rýn ye ri ne –1 ya zar. Ýlk oyun cu –1
ve k sa yý sý ný se çer se, bun la rýn ye ri ne, –2k + 1 ya zar. Ýkin ci oyun cu bu sa yý yý ve m sa -
yý sý ný se çer se, bun la rýn ye ri ne –2mk – 2k + m + 1 ya zar ve bu sa yý da ne ga tif tir. Bu
þe kil de de vam edil di ðin de el de edi len sa yý lar kü çü le cek tir. Bu da, el de edi len sa yý nýn
2010! kü çük ol ma sý de mek tir.

6. Tah ta ya 1111…11 (99 adet 1) sa yý sý ya zýl mýþ týr. A ve B gi bi iki oyun cu, iki oyun cu dan
sý ra sý ge le nin ham le si ni yap tý ðý ve ön ce A nýn oyu na baþ la dý ðý bir oyun oy nu yor lar.
Baþ ta ve son da ki 1 ha riç di ðer 1 ra kam la rýn dan bi ri si li nip ye ri ne sý fýr ya zý lý yor ve ya
bir sý fýr ra ka mý si li ni yor. Ham le sin den son ra ge ri ye ka lan sa yý 11 ile bö lü nü yor sa, en
son ham le ya pan ki þi oyu nu kay be di yor. Oyu nu kim han gi stra te ji ile ka za nýr?
Çö züm:
Çö züm:
Oyu na baþ la yan A, baþ ta ve son da ki 1 ler dý þýn da ki bir 1 i 0 ya pa rak 1 1101…1 1
du ru mu na dö nüþ tür sün. Bu du rum da B, 0 (sý fýr)ý si le mez, ge ri ye ka lan sa yý 98 ba sa -
mak lý 1 ler den olu þan sa yý 11 ile bö lü ne ce ðin den, oyu nu kay be der. Bu na gö re B, 1 i 0
yap ma lý. Ýkin ci ham le sin de B nin yaz dý ðý 0 ý si ler. Bu du rum da sa yý 11 ile bö lün mez.
Oyu na bu þe kil de de vam edil di ðin de A nýn ham le si so nun da tah ta da ka lan sa yý 11 ile
bö lün mez. B nin yap tý ðý son ham le den son ra sa yý 11 ile bö lü nür.
11111 sa yý sý için oyu nu oy na ya lým.

A ham le si yap tý, 1 011 1
B ham le si yap tý, 1 001 1
A ham le si yap tý, 1 01 1
B ham le si yap tý, 1 1 1

A ham le si yap tý, 1 0 1
B ham le si yap tý, 1 1 olup 11 sa yý sý 11 ile bö lü nür.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 507