Page 480 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 10.1 BOYAMA

Çö züm:
Çö züm: (Ce vap B)
Ka ðý dý 2×2 bo yut lu 9 ta ne kü çük ka re ye bö le lim. Her kü-
çük ka re de en faz la bir ha ne yi bo ya ya bi le ce ði miz için bo -
ya nan ha ne le rin sa yý sý 9'dan faz la de ðil dir. Di ðer ta raf tan
kü çük ka re le rin her bi ri nin sol üst kö se si ni bo yar sak 9 ha -
ne bo ya mýþ olu ruz.
2n×2n ve ya 2n + 1×2n + 1 du rum la rý için bir ge nel le me
ya pý la bi lir.

9. Düz lem de 2012 nok ta nýn her bi ri ma vi ya da kýr mý zý ya bo ya ný yor. Ma vi nok ta mer kez -
li ve 1 bi rim ya rý çap lý her çem be rin üze rin de tam ola rak iki kýr mý zý nok ta bu lu na cak.
Bu na gö re Ma vi nok ta la rýn sa yý sý en faz la kaç olur?

A) 1006 B) 1365 C) 1509 D) 1874 E) 1967
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
|K K | doð ru par ça sý için; [K K ] yi çap ka bul eden en faz la iki fark lý eþ çem ber
1 2 1 2
çi zi le bi lir.
Kýr mý zý nok ta lar K , K , K , …, K (n ta ne kýr mý zý nok ta) ve. Ma vi nok ta lar da M , M ,
1 2 3 n 1 2
M , …, M (t ta ne ma vi nok ta) ol sun. Her han gi bir (K , K ) iki li si için (1 i, j n) yu -
3 t i j
ka rý da da be lir til di ði gi bi bu iki li den en faz la iki çem ber ge çer. Bu na gö re iki kýr mý zý
nok ta için en faz la iki ma vi nok ta mer kez olur. Her (K , K ) iki li si için en faz la 2 Ma -
i j
vi nok ta bu lu na ca ðý için (K , K ) iki li le ri nin sa yý sý nýn iki ka tý ma vi nok ta la rýn sa yý sýn -
i j
dan bü yük ve ya eþit tir.

(K , K ) iki li le ri nin sa yý sý; olup Mavi nok ta la rýn sa yý sý da t ol du ðun dan
i j

n + t = 2012 ve n(n – 1) t

2
ol du ðun dan n – n + n t + n = 2012 olur ki bu da n 45 de mek tir. n 45 ise da
t < 1968 ol ma lý dýr. En bü yük t de ðe ri ni ara dý ðý mý za gö re, t = 1967 için ör nek bu -
lur sak çö züm ta mam de mek tir.
Bü tün (K , K ) iki li le ri için |K K |< 2 bi ri ola cak þe kil de alýr sak |K K | her za man
i j i j i j
ki riþ ola bi lir ve ara nan du rum sað lan mýþ olur.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 479