Page 472 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 9.2 DEÐÝÞMEZLÝK (INVARIANCE) PRENSÝBÝ

16. Em re 1, 2, 3, 4, …, 19, 20 gram lýk ma de ni pa ra la rý bir ke se ye ko yu yor. Fa kat han gi
pa ra kaç gram dýr bil mi yor. Em re ke se den iki ta ne ma de ni pa ra yý alýp han gi si nin da ha
aðýr ol du ðu nu Os man'a so ra bi li yor. Kar þý lý ðýn da Os man'a ke se de ki pa ra lar dan bi ri ni
ve ri yor. Em re'nin bir kaç ham le so nun da seç ti ði iki bo zuk pa ra nýn aðýr lýk la rý top la mý -
nýn 28 den kü çük ol ma dý ðý ný ga ran ti le ye bi lir mi? (Em re ön ce pa ra yý ve ri yor son ra
han gi si nin aðýr ol du ðu nu öð re ni yor.)
Çö züm:
Çö züm:
Ma de ni pa ra la rý P(1), P(2), …, P(20) þek lin de isim len di re lim. Em re ilk ola rak P(1) i
Os man'a ve rir ve P(2) ve P(3) ü Os man'a so rar. Son ra bun lar dan ha fif ola ný Os man'a
ve rir ve aðýr olan la P(4)'ü Os man'a so rar. Em re P(k) ile P(10) dan aðýr ola ný öð re ne -
ne ka dar de vam eder. Aðýr ola ný P(n) ol sun. P(n) en az do kuz sa yý dan bü yük tür.
Em re, P(k) ile P(10) dan aðýr ola ný Os man'a ve rip P(11) ile P(12) yi Os man'a so rar
ve bun lar dan ha fif ola ný ný Os man'a ve rip aðýr olan la P(13) ü so rar. Em re P(r) ile
P(20) den aðýr ola ný öð re ne ne ka dar de vam eder. Aðýr ola ný P(m) ol sun. P(m) en az
se kiz sa yý dan bü yük tür.
Em re, P(r) ile P(20) den ha fif ola ný Os man'a ve rip P(m) ile P(n) den aðýr ola ný öð re nir.

i) P(m) aðýr ise, P(m) 18 sa yý dan bü yük ya ni P(m) 19, P(n), do kuz sa yý dan bü yük
ya ni P(n) 10 ol du ðun dan P(m) + P(n) 29 olur.

ii) P(n) aðýr ise, P(n) 18 sa yý dan bü yük ya ni P(n) 19, P(m), se kiz sa yý dan bü yük ya -
ni P(m) 9 ol du ðun dan P(m) + P(n) 28 olur.

O hal de, Em re seç ti ði iki ma de ni pa ra nýn iki si nin aðýr lýk la rý top la mý nýn 28 den kü çük
ol ma dý ðý garan ti le ye bi lir.

17. Ali Hay dar bir el ma yý 20 ve ya 14 par ça ya ayý rý yor. Da ha son ra bu par ça lar dan bi ri ni Ala -
rak tek rar 20 ve ya 14 par ça ya ayý rý yor. Bu þe kil de ayýr ma iþ le mi ni is te di ði ka dar tek rar
et ti ðin de 1! + 2! + 3! + ... + 2013! + 2014! sa yý sý ka dar par ça el de ede bi lir mi?
Çö züm:
Çö züm:
Ali Hay dar bir el ma yý 20 par ça ya ayýr dý ðýn da par ça sa yý sý 19 ar tar ken 14 par ça ya ayýr dý -
ðýn da par ça sa yý sý 13 ar ta cak týr. Ali Hay dar, 20 ye ayýr ma iþ le mi ni x de fa ve 14 e ayýr ma
iþ le mi ni y de fa yap tý ðý na x + y de fa ayýr ma nýn so nun da el de edi le cek par ça sa yý sý
1+19x+13y ola cak týr. Bu na gö re, 1+19x+13y = 1!+2!+3!+...+2013!+2014!
denk le mi nin po zi tif tam sa yý lar da çö zü mü nün var lý ðý ný araþ tý ra lým.
19x + 13y = 2! + 3! + ... + 2013! + 2014! denk le mi nin çö zü mü için denk le min
sað ta ra fý ný çö züm ge lip gel me ye ce ði ni araþ týr mak için grup la ra ayý ra lým.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 471