Page 471 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

DEÐÝÞMEZLÝK (INVARIANCE) PRENSÝBÝ ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 9.2

2
1
0
14. Ya zý tah ta sý na 1 = 2 , 2 , 2 , …, 2 10 sa yý la rý ya zýl mýþ týr. Her adým da bu sa yý lar dan iki -
si si li ne rek on la rýn ye ri ne sa yý la rýn çar pý mý nýn ya rý sý ya zý lý yor. Son lu adým dan son ra
tah ta da tek bir sa yý ka la cak týr. Bu sa yý ne dir?
Çö züm:
Çö züm:
0
2
1
Her adým da 1 = 2 , 2 , 2 , …, 2 10 sa yý lar dan iki si si li ne rek on la rýn ye ri ne sa yý la rýn
çar pý mý nýn ya rý sý ya zýl dý ðýn dan bir adým da tah ta dan bir sa yý ek si li yor ve sa yý la rýn çar -
pý mý da ya rý ya dü þü yor. Bu na gö re, tah ta da on bir sa yý ol du ðun dan 10 adý mýn so nun -
da tah ta da bir sa yý ka lýr ve tah ta da ka lan sa yý da

15. Tah ta ya 1, 2, 3, …, 4n – 1þek lin de sa yý lar ya zýl mýþ týr. Her adým da her han gi iki sa yý si -
li nip, tah ta ya bu iki sa yý nýn far ký ya zý lý yor. 4n – 2 adým dan son ra tah ta da bir tek sa yý
ka la cak týr. Bu sa yý nýn çift ola ca ðý ný gös te ri niz.
Çö züm 1:
Çö züm 1:
1, 2, 3, …, 4n – 1 sa yý la rýn dan 2n ta ne si tek sa yý ve 2n – 1 ta ne si de çift sa yý dýr. Her
adým da her han gi iki sa yý si li nip, tah ta ya bu iki sa yý nýn far ký ya zýl dý ðýn dan, aþa ðý da ki
du rum lar ge çer li dir.
a) t – t = ç sa yý olup 2 tek sa yý azal mýþ olur.
b) ç – ç = ç olup tek sa yý sý de ðiþ mez.

c) t – ç = t ve ya ç – t = t olup tek sa yý de ðiþ mez.
Tek le rin sa yý sý her za man çift tir. So na ka lan sa yý tek ola maz.

Çö züm 2:
Çö züm 2:
a – b a + b (mod2)

1 + 2 + 3 + ... + 4n – 1 = (4n – 1)2n top la mý çift tir.
Do la yý sýy la so na ka lan sa yý da çift tir.

470 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk