Page 458 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 9.1 DEÐÝÞMEZLÝK (INVARIANCE) PRENSÝBÝ

Ay ný þe kil de 1 bak te ri öl dü rül dü ðün de bu nun ye ri ne 9 bak te ri olu þu yor sa fa nus ta ki
ar týþ 8 0 (mod4)
+
2015 3 (mod4) ol du ðun dan fa nus ta ki bak te ri sa yý sý 4k + 3, k Z for mun da ki bir
+
sa yý ya in di ri le bi lir. Bu na gö re 4k + 3, k Z for mun da ki en kü çük sa yý 3 tür.
Þim di 3 için ör nek ve re lim. 2015 e 100 ham le ar tar da 21 bak te ri öl dü rül dü ðün de
bun la rýn ye ri ne 1 bak te ri oluþ tu ðu ham le yi uy gu la ya lým. Fa nus ta 15 bak te ri ka lýr. Da -
ha son ra 1 bak te ri öl dü rül dü ðün de bu nun ye ri ne 9 bak te ri oluþ tu ðu ham le yi uy gu lar -
sak fa nus ta 23 bak te ri olur. Son ola rak 21 bak te ri öl dü rül dü ðün de bun la rýn ye ri ne 1
bak te ri oluþ tu ðu ham le yi uy gu lar sak fa nus ta 3 bak te ri ka lýr.

6. 2001×2001'lik sat ranç tah ta sý nýn her ka re si ne mut lak de ðe ri 1'den kü çük ve ya eþit
olan re el sa yý lar ya zý lý yor. Her 2×2'lik ka re de ki sa yý la rýn top la mý 0 ise; bu sat ranç tah -
ta sýn da ki tüm sa yý la rýn top la mý en faz la kaç olur?

A) 1001 B) 1999 C) 2000 D) 2001 E) Hiçbi ri
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap D)
n nin tek sa yý ol ma sý du ru mun da so ru da ve ri len þart lar da n×n lik ka re de ki sa yý la rýn
n den kü çük eþit ola ca ðý ný tü me va rým la gös te re lim.

n = 1 için |A| 3 olduðundan A 1 olur.
n = 3 için

a a a
1 2 3
a a a
4 5 6
a a a
7 8 9

a + a + ... + a k ol sun. a + a + a + a = 0 ve a + a + a = –a ise
1 2 9 1 2 4 5 6 8 9 5
k = 0 + a + a – a = a + a – a 3 tür.
3 7 5 3 7 5
n = 2k – 1 için sað la sýn. n = 2k + 1 için de sað la dý ðý ný gös te rir sek yu ka rý da ki id di -
amý zý da is pat la mýþ olu ruz.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 457