Page 454 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 8.2 ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER

n = 2 için a = 0
2
n = 3 için bir nu ma ra lý da ire di li mi için 4 fark lý renk ten bi ri, iki nu ma ra lý da ire di li -
mi için 3 renk ten bi ri çün kü bi ri 1 nu ma ra lý da kul la nýl mýþ tý. Üç nu ma ra lý da ire di li -
mi ile 1 nu ma ra lý da ire di li mi ay ný ola ca ðýn dan tek du rum ola cak týr.
Bu da a = 4.3 = 12 de mek tir.
3
n 4 için a = 4.3 n – 2 – a n – 1 olur. Çünkü ilk daire dilimi dört renkten biri olabilir,
n
son dilimden önceki her dilim için 3 farklý renk vardýr. Fakat (n – 1). dilimin rengi ile
ilk dilimin rengi ayný olursa, n. dilimin rengi ile ilk dilimin rengi farklý olur. Dolayýsýyla
bu durumlarý çýkartmamýz gerekir. Bu durumlarýn sayýsý ise a dir. Buna göre,
n – 1
a = 4.3 4 – 2 – a = 24
4 4 – 1
a = 4.3 5 – 2 – a = 84
5 5 – 1
a = 4.3 6 – 2 – a = 240
6 6 – 1
a = 4.3 7 – 2 – a = 732
7 7 – 1
6
olup, aranan durumlarýn sayýsý; 4.3 – 732 = 2184 bulunur.

15. {1, 2, 3, …, n} kü me si nin her han gi bir alt kü me si S için |S| S ise bu kü me ye ben -
cil kü me de ni yor. {1, 2, 3, …, n} bir alt kü me si olan S ben cil alt kü me si baþ ka bir ben -
cil kü me yi tam ola rak içer mi yor sa bu ben cil kü me ye ay ný za man da az ben cil kü me
de ni yor. Bu na gö re, {1, 2, 3, …, n} kü me si nin kaç fark lý az ben cil alt kü me si var dýr?

A) 55 B) 128 C) 169 D) 265 E) 321
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap )
Çö zü mün tam an la þý la bil me si için, {1, 2, 3} kü me si nin alt kü me si olan ben cil ve az
ben cil kü me le ri ya za rak sa yý la rý ný ya za lým.
{1, 2, 3} kü me si nin alt kü me le ri { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
olup se kiz ta ne dir. Bun lar dan {1}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 2, 3} kü me le ri ben cil kü me ler dir
ve dört ta ne dir. Bu ra da ki dört ben cil kü me den {1}, {2, 3} kü me le ri baþ ka bir ben cil kü -
me yi tam ola rak içer me dik le rin den bu iki kü me az ben cil kü me ler dir. O hal de {1, 2, 3}
kü me si nin 8 alt kü me sin den dört ta ne si ben cil ve iki ta ne si de az ben cil kü me dir.
{1, 2, 3, 4} kümesinin alt kümeleri { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4},
{2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4} ve {1, 2, 3, 4} olup on altý
tanedir. Bunlardan {1}, {1, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4} ve {1, 2, 3,
4} kümeleri bencil kümelerdir. Bunlarýn sayýsý da sekiz tanedir. Bunlardan {1},
{2, 3}, {2, 4}, {1, 3, 4} kümeleri ise az bencil kümelerdir ve üç tanedir.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 453