Page 457 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

DEÐÝÞMEZLÝK (INVARIANCE) PRENSÝBÝ ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 9.1

Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
2
x 0, 1, 4, 7, 8 (mod9) ol du ðu nu bi li yo ruz. An cak 1+2+3+4+5+6 3 (mod9) dur.
O hal de ra kam la rý 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olan bir sa yý 3 (mod9) ol du ðun dan tam ka re bir
sa yý ola maz.

4. n + 1 öð ren ci ve n film var. Her öð ren ci nin iz le di ði film sa yý sý fark lý dýr ve her fil mi ay -
ný sa yý da öð ren ci iz le miþ tir. n sa yý sý, 8, 10, 16, 21, 25, 32, 81 de ðer le rin den ka çý na eþit
ola bi lir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap B)
Bir öð ren ci nin iz le di ði film sa yý sý 0, 1, 2, …, n sa yý la rýn dan bi ri dir. Ya ni n + 1 fark lý de -
ðer ala bi lir. n öð ren ci den her bi ri film iz le miþ se {0, 1, 2, …, n} kü me si nin ele man la rýy -
la öð ren ci le rin iz le di ði film sa yý la rý bi re bir ve ör ten ola rak eþ le nir. Bu na gö re top lam

iz le me sa yý sý, dir. Her fil mi ay ný sa yý da öð ren ci iz le di ði -

+
ne gö re, her film c Z kez iz len miþ ol sun. Bu na gö re top lam iz le me sa yý sý c.n olur.
Bu na gö re, ise 2.c = n + 1 ve n = 2.c – 1 dir.

Ya ni n tek po zi tif tam sa yý dýr. Bu na gö re so ru da ve ri len 8, 10, 16, 21, 25, 32, 81 sa yý -
la rýn dan tek olan la rýn sa yý sý 3 ta ne dir.

5. Bir fa nus ta 2015 bak te ri var. Bir ham le de ya 21 bak te ri öl dü rü lü yor, 21 bak te ri öl dü -
rül dü ðün de bun la rýn ye ri ne 1 bak te ri olu þu yor. Ya da 1 bak te ri öl dü rü lü yor, 1 bak te -
ri öl dü rül dü ðün de bu nun ye ri ne 9 bak te ri olu þu yor. Bu na gö re bak te ri sa yý sý en az ka -
ça in di ri le bi lir?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 7
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap D)
Bu ra da fa nus ta ki net ek sil me ve ya ar tý þýn mod4 e gö re de ðiþ me di ði ni gö rü yo ruz.

Bir ham le de 21 bak te ri öl dü rül dü ðün de bun la rýn ye ri ne 1 bak te ri olu þu yor sa fa nus -
ta ki ek sil me 20 0 (mod4)

456 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk