Page 452 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 8.2 ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER

11. A, B, C, D isimli dört kiþi top ile birbirlerine pas atma oyunu oynuyorlar. Topu alan kiþi
A nýn dýþýnda diðer üç kiþiden birine pas atýyor. Oyunu baþlatan (ilk pasý veren) kiþi A
ve sadece son pas A ya gidiyor. Buna göre, 10 pastan sonra kaç farklý þekilde top A ya
gelebilir?
Çö züm:
Çö züm:
A dan baþlayýp n pastan sonra pasýn A ya gitmesi durumlarýnýn sayýsýný a ile göstere-
n
lim. Buna göre, a = 0, a = 3, a = 6 dýr. A dan baþlayýp, herhangi bir þart olmadan
1 2 3
n – 1 pas yapma durumu 3 n – 1 olur.
i) (n – 1). pas A a gidiyorsa, bu durumlarýn sayýsý a e eþittir. …(1)
n – 1
ii) (n – 1). pas B, C veya D ye gidiyor ve n. pas da A ya gidiyorsa bu durumlarýn
sayýsý da a e eþittir. …(2)
n
Yani, …(1) ve (2) den a + a n – 1 = 3 n – 1 dir.
n
Buna göre, a = 0, a = 3, a = 6, a = 21, … þeklinde devam edildiðinde a 10 = 14763
4
1
3
2
bulunur.

12. Bir madeni para 10 kez atýldýðýnda art arda iki tura gelmeme olasýlýðý nedir?
Çö züm:
Çö züm:
Bu sorunun çözümünü n atýþ için genelleyelim. n. atýþtan önceki atýþlarda art arda iki
tura gelmemiþ olsun. Buna göre, n. atýþta tura gelen durumlarýn sayýsý a ve yazý gelen
n
durumlarýn sayýsý b olsun. a = b = 1 olduðunu kolayca görebiliyoruz. n. atýþta tura
n
1
1
gelmiþse (n – 1). atýþta yani, sondan bir önceki atýþta yazý gelmelidir. Yani a = b
n+1 n
demektir. n. atýþta yazý gelmiþse (n – 1). atýþta yani, sondan bir önceki atýþta yazý veya
tura gelebilir. Yani b = a + b demektir. a = b ise a = b olur. Son eþit-
n+1 n n n+1 n n n – 1
lik b = a de a yerine b yazýldýðýnda b = b + b elde edilir. Bu
n+1 n+1 n n – 1 n+1 n – 1 n
da, b = b n – 1 + b n – 2 demektir. Buradan b = b n – 1 + b n – 2 fibonacci dizisinden
n
n
b = 89 ve b = a + b olduðundan a + b = b = 144 bulunur. Bir paranýn
10 11 10 10 10 10 11
on defa art arda atýldýðýndaki tüm farklý durumlarýn sayýsý, 2 10 olduðundan aranan
olasýlýk

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 451