Page 449 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 8.2

Çö züm:
Çö züm:
f(n) = f(n – 1) + f(n – 2) + ... + f(1) + 1, 1 : n taþýn tamamýný alma durumu

f(1) = 1
f(2) = f(1) + 1 = 2
f(3) = f(2) + f(1) + 1 = 2 + 1 + 1 = 4

f(4) = f(3) + f(2) + f(1) + 1 = 4 + 2 + 1 + 1 = 8
.
.
.
f(n) = f(n – 1) + f(n – 2) + ... + f(1) + 1
0
2 n – 1 = 2 n – 2 + 2 n – 3 + ... + 2 + 1 dir. Ya ni n ta ne ta þýn bu lun du ðu bir öbek ten her
de fa sýn da 1, 2, 3, 4, …, n taþ ala rak bun lar gö re öbek te ki taþ la rý f(n) = 2 n – 1 fark lý
þe kil de ala bi li riz.

7. Bir doðru üzerine 12 kutu yerleþtirilmiþtir. Her kutuya bu kutudaki topun en az biri
komþusundaki ile ayný olacak þekilde kýrmýzý, mavi, sarý top yerleþtiriliyor. Kaç farklý
þekilde yerleþtirilebilir?
Çö züm:
Çö züm:

Sarý ile baþlayanlarýn sayýsý; f(n) olsun. f(n) = 2f(n – 2) + f(n – 1), n 4 tür.

1 kutu için f(1) = 1 S
2 kutu için f(2) = 1 SS
3 kutu için f(3) = 1 SSS

f(4) = 3, f(5) = 5, f(6) = 11, f(7) = 21, f(8) = 43, f(9) = 85, f(10) = 171,
f(11) = 341, f(12) = 683 tür. Bu durum sadace sarý ile baþlayanlar içinde bir de Mavi
ve Kýrmýzý ile baþlayanlar için hesaplandýðýnda aranan durum 3.683 = 2049 dur.

448 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk