Page 444 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 8.1 ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER

14. Çok sa yý da kýz ve er kek öð ren ci nin bir okul ti yat ro ya gi di yor. Ti yat ro nun ön sý ra sýn da
11 kol tuk bu lun mak ta dýr. Hiç bir er kek öð ren ci iki kýz öð ren ci nin ara sý na (sað ve ya sol
sý ra nýn en so nun ya nýn da kýz öð ren ci ola cak sa) otur mak is te mez ken ay ný þe kil de hiç -
bir kýz öð ren ci de iki er kek öð ren ci ara sý na (sað ve ya sol sý ra nýn en so nun ya nýn da er -
kek öð ren ci ola cak sa) otur mak is te mi yor. Bu ön sý ra da ki 11 kol tu ða öð ren ci le rin is tek -
le ri doð rul tu sun da ki bir otu rum dü ze ni kaç fark lý þe kil de ger çek le þir.

A) 55 B) 68 C) 110 D) 121 E) 168
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap C)
e ; n kol tuk lu bir sý ra için en baþ ta ki kol tuk ta er kek ola cak þe kil de ve ri len þart la rý sað -
n
la yan fark lý otu ruþ la rýn sa yý sý ve k en baþ ta ki kol tuk ta kýz ola cak þe kil de fark lý otu -
n
ruþ la rýn sa yý sý ol sun.

Sol dan en ba þa er kek otur du ðun da ki du ru mu n kol tuk için in ce le ye lim. En ba þa er -
kek oturduğunda ilk üç otu ruþ EEE… ve ya EEK… þek lin de ola cak týr.

i) Baþ tan ilk er ke ði sil di ði miz de (at tý ðý mýz da) di zin de ki du rum ya ni n – 1 öð ren ci
için fark lý otu ruþ la rýn sa yý sý e ola cak týr.
n – 1
EEE… þek lin de ki otu ruþ ta baþ tan iki er ke ði si ler sek (atar sak) ge ri ye ka lan n – 2 öð -
ren ci için fark lý otu ruþ la rýn sa yý sý e ola cak týr. Bu da e = k de mek tir.
n – 2 t t
ii) Baþ tan ilk iki er ke ði sil di ði miz de (at tý ðý mýz da) di zin de ki du rum baþ ta otu ra nýn
kýz öð ren ci ol ma sý du ru mu na dö nü þe cek tir. n – 2 sý ra için du rum k ola cak týr.
n – 2
Fark lý otu ruþ la rýn sa yý sý e ola cak týr.
n – 1
e = e n – 1 + k n – 2 ve e = k ol du ðun dan, (En ba þa ký zýn otur ma sý ile er ke ðin otur -
n
t
t
ma sý du rum la rý ay ný ve 1 – 1 ol du ðun dan fark lý otu ruþ la rýn sa yý la rý da bir bi ri ne eþit
ola cak týr.
e = e n – 1 + e n – 2 ve k = k n – 1 + k n – 2 olup e = 1 ve e = 1 dir.
n
n
3
2
O hal de, e = F n – 1 dir. Bu na gö re, e 11 + k 11 = 2e 11 = 2F 10 = 110 dur.
n

15. Dört ta ba nýn da ya zý lan al tý ba sa mak lý sa yý la rýn kaç ta ne sin de en az bir ta ne 1 bu lu nur
ve ilk 1 var sa, ilk 0 (sý fýr)ýn so lun da bu lu nur?

A) 1455 B) 1668 C) 2014 D) 2016 E) 2023

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 443