Page 441 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 8.1

9. Bir tor ba da üç fark lý renk te bil ye var dýr. Ma vi bil ye le rin sa yý sý, sa rý bil ye le rin sa yý sý nýn
2 ka tý, be yaz bil ye le rin sa yý sý da sa rý bil ye le rin sa yý sý nýn 3 ka tý nýn 1 faz la sý ka dar dýr.
Tor ba dan, her alýþ ta tor ba da bu lu nan bil ye le rin sa yý sý nýn 2 katý nýn 1 faz la sý nýn 3'te bi -
ri bil ye alý na rak, 7 de fa bil ye alý ný yor. 7. alýþ tan son ra tor ba da bil ye kal ma dý ðý na gö re,
tor ba da ilk baþ ta kaç ta ne sa rý bil ye var dý?

A) 115 B) 141 C) 176 D) 167 E) 182
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
Ma vi, Be yaz, Sa rý bil ye le rin sa yý sý ný sý ra sýy la M, B, S ile gös te re lim. M = 2S ve B = 3S + 1
olur. Tor ba da baþ lan gýç ta bu lu nan bil ye sa yý sý ný a ile gös te rir sek a = 6S + 1 dir. Tor ba -
0 0
dan n in ci de fa bil ye alýn dý ðýn da ka lan bil ye sa yý sý ný da a ile gös te re lim. Di ðer ta raf tan
n
2a 1
n
a – a ol du ðun dan elde edi lir. a = 0 olduðundan a = 1
n
3 n 1 7 6
dir. Bu þe kil de a , a , a , a , a , a deðerleri sýrasýyla 4, 13, 40, 121, 364, 1093 olarak
5 4 3 2 1 0
elde edilir. 6S + 1 = 1093 eþitliðinden S = 182 bulunur.

10. a, b, c harf le riy le, ilk ve son har fi ay ný olan ve her han gi ar dý þýk iki har fi ay ný ol ma yan
10 harf li kaç fark lý ke li me di zi ni ya zý la bi lir?

A) 765 B) 642 C) 564 D) 510 E) 456
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap D)
So ru nun çö zü mü nü di zi ha li ne ge ti rip ge nel te ri mi ni bu la rak çö ze lim. Du rum la rý a
için in ce le yip, b ve c için du rum la a için olan la ay ný ola ca ðýn dan, ara nan tüm du -
rum la rýn sa yý sý üç ile çar pý lýr.
Bir ve iki harf li ke li me için du rum 0 dýr. Üç harf li ke li me için,
i) 1 1 için 2 du rum var dýr. yere 2 ve ya 3 ge le bi lir.
ii) 1 1 için 2 du rum var dýr. yere 2 3 ve ya 3 2 ge le bi lir.

iii) 1 1 için 6 du rum var dýr. yere 2 3 2, 3 2 3, 2 1 3, 3 1 2,
2 1 2 ve ya 3,1,3 ge le bi lir.
n için sý ra sý ra yan ya na iki si ay ný ol ma ya cak þe kil de yer leþ ti rir sek tüm du rum la rýn
sa yý sý 2 n – 2 dir. Bun lar dan sað la ma yan la rýn tü mün de son dan bir ön ce ki harf a ol ma -
lý dýr. Bu durm la rýn sa yý sý a dir.
n – 1
Bu na gö re a = 2 n – 2 – a n – 1 dir. Bu ra dan,
n
440 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk