Page 436 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 8.1 ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER

3. 100 met re ko þu su na ka tý lan 6 ko þu cu için sý ra la ma kaç fark lý þe kil de ger çek le þir? (Bi -
tiþ çiz gi si ne ay ný an da va ran iki ki þi ay ný de re ce yi alýr lar.)

A) 541 B) 792 C) 3246 D) 4248 E) 4683
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
6 ya rýþ çý ko þu yu ki þi sa yý sý ola rak 4ü bi rin ci, bi ri ikin ci, bi ri üçün cü ola rak ta bi ti re bi -
lir ler ve ya bi ri bi rin ci, iki si ikin ci, iki si üçün cü ve bi ri dör dün cü ola rak da bi ti re bi lir -
ler….
Þim di fark lý du rum la rýn sa yý sý ný da ha az sa yý da ki ko þu cu(ya rýþ ma cý) sa yý sý na gö re in -
ce le ye lim.
Ko þu cu sa yý sý 1 ol say dý, so nuç tek tür lü ger çek le þir di. Tek bi rin ci

Ko þu cu sa yý sý iki ol say dý, bun lar A ve B ol sun lar, A – B, B – A, AB (A – B, A bi rin ci B
ikin ci, AB iki ko þu cu be ra be re) þek lin de 3 fark lý þe kil de ger çek le þir di.
Ko þu cu sa yý sý 3 ol say dý,
i) Her han gi bir de re ce yi pay la þan en az iki ki þi yok sa; 1., 2., 3. için 3! = 6 fark lý sý -
ra la nýþ (de re ce len dir me) olur du.

ii) Her han gi bir de re ce yi iki ki þi pay la þýr sa (Tek bi rin ci iki ikin ci ve ya iki bi rin ci tek

ikin ci)

iii) Üçü de ay ný de re ce yi pay la þýr lar sa, bu du rum tek þe kil de ger çek le þir.
Bu na gö re, 3 ko þu cu için fark lý du rum la rýn sa yý sý 6 + 3 + 3 + 1 = 13 tür.

Dört ya rýþ ma cý için du rum lar bi raz da ha çok ve ka rý þýk ola cak týr. Fa kat so nuç la rý bir
di zi nin te rim le ri ola rak dü þü nür sek, di zi nin ilk üç te ri mi 1, 3, 13 þek lin de dir.
Þim di 6 ya rýþ ma cý için ola yý du rum la ra ayýr ma ya ça lý þa lým. Þa yet 6 ya rýþ ma cý dan k ta -
ne si bi rin ci olur sa, bi rin ci lik için fark lý du rum la rýn sa yý sý, 6 ki þi den k ta ne si nin se çil -
me si þek lin de dir. Da ha son ra da ge ri ye ka lan 6 – k için du rum la rý in ce le riz.
a ; n ko þu cu nun fark lý þe kil de ala bi le cek le ri de re ce le rin sa yý sý ol sun. Þa yet n ya rýþ ma -
n
cý dan k ta ne si bi rin ci olur sa, ge ri ye ka lan n – k ki þi için fark lý de re ce le rin sa yý sý a n – k

olur. Bu na gö re in dir ge me li di zi man tý ðýy la

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 435