Page 435 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 8.1

1. S , S , S , …, S di zi sin de her te rim (n 3 için S ) ken din den ön ce ki ilk iki te ri min
1 2 3 10 n
top la mý na eþit tir. Ya ni n 3 için S = S n – 2 + S n – 1 dir. S = 110 ve S = 42 ol du -
n
9
7
ðu na gö re S kaç týr?
4
A) 26 B) 23 C) 16 D) 13 E) 10
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
S = S + S ise 110 = S + 42 ve S = 68 bu lu nur.
9 8 7 8 8
S = S + S ise 68 = 42 + S ve S = 26 bu lu nur.
8 7 6 6 6
S = S + S ise 42 = 26 + S ve S = 16 bu lu nur.
7 6 5 5 5
S = S + S ise 26 = 16 + S ve S = 10 bu lu nur.
7 5 4 4 4

2. 9 gün bo yun ca kamp ta bu lu nan Ali ba zý gün ler de ni ze gir miþ tir. Ali'nin bu sü re bo -
yun ca, de ni ze gir di ði ar dý þýk üç gün bu lun ma dý ðý ve ilk gün de ni ze gir di ði bi li ni yor sa,
Ali kaç fark lý yol la de ni ze gir miþ ola bi lir?

A) 84 B) 125 C) 126 D) 220 E) 792
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap B)
Ali'nin de ni ze gir di ði gün le ri 1 ve gir me di ði gün le ri de 0 ile gös te re lim. Bu na gö re so -
ru yu, 1 ile baþ la yan 1 ve 0 sa yý la rýn dan olu þan üç ta ne 1 in art ar da gel me di ði 9 ba sa -
mak lý bir di zin kaç fark lý þe kil de oluþ tu ru la bi lir þek lin de de ifa de ede bi li riz. f(1) = 1;
10 ve ya 11 den f(2) = 2; 110, 100, 101 den f(3) = 3; 1101, 1100, 1011, 1010, 1001,
1000 den f(4) = 6 dýr. Þimdi n için indirgemeli dizi formülünü bulalým. Burada son-
dan geriye doðru gelmeliyiz.
i) Son rakam 0 olduðu durumlar f(n – 1) kadardýr.

ii) Son rakam 1, bir önceki rakam 0 olduðu durumlar f(n – 2)
iii) Son rakam 1, bir önceki rakam 1 ise sondan üçüncü rakam 0 olmak zorundadýr.
Bunlarýn sayýsý da f(n – 3) kadardýr.

Buradan n > 3 için f(n) = f(n – 1) + f(n – 2) + f(n – 3) el de edi lir.
Bu na gö re; f(5) = 11, f(6) = 20, f(7) = 37, f(8) = 68, f(9) = 125 bu lu nur.

434 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk