Page 440 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 8.1 ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER

8. 4 ta ba nýn da on ba sa mak lý 3 ile baþ la yan ve her han gi kom þu iki ra ka mýn far ký nýn 1 ol -
du ðu kaç fark lý sa yý ya zý la bi lir? (Ör ne ðin, 321010121 sa yý sý dört ta ba nýn da ya zýl mýþ 9
ba sa mak lý ve her han gi kom þu iki ra ka mý nýn far ký iki olan bir sa yý dýr.)

A) 28 B) 34 C) 52 D) 55 E) 64
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap D)
a ; 4 ta ba nýn da n ba sa mak lý 3 ile baþ la yan ve her han gi kom þu iki ra ka mýn far ký nýn 1
n
ol du ðu sa yý la rýn sa yý sý ný gös ter sin. Bu na gö re, bir ba sa mak lý 3 ile baþ la yan sa yý 3 olup,
bu na gö re de a = 1 dir. Kom þu iki ra ka mýn far ký 1 ola ca ðýn dan ve ri len þart lar da iki
1
ba sa mak lý sa yý sa de ce 32 ya zý la bi lir ve bu na gö re, a = 1 dir. Üç ba sa mak lý sa yý ya bak -
2
tý ðý mýz da, ve ri len þart lar da iki fark lý sa yý ya zý la bil mek te dir ve bun lar, 323 ve 321 dir.
323 için dört ba sa mak lý dü þün dü ðü müz de sa yý mýz 3232 olur ken 321 için 3210 ola -
cak týr. Bu na gö re n 3 için 1 ile baþ la yan sa yý la rý ay rý ele al ma mýz ge re ke cek tir. Bu -
na gö re ve ri len þart lar da ya zý la bi le cek 1 ile baþ la yan n ba sa mak lý sa yý la rýn sa yý sý ný b n
ile gös te re lim. Bu na gö re, a = a n – 2 + b n – 2 olur. Üç ba sa mak lý ve 1 ile baþ la yan bu
n
sa yý lar 101, 123, 121 þek lin de dir. Bu ra dan b = 2b n – 2 + a n – 2 el de edi lir. Bu na gö re,
n
a = a n – 2 + b n – 2
n
b = a n – 2 + 2b n – 2
n
Denk lem sis te mi el de edi lir. Bu denk lem sis te mi ni çöz mek ko lay ol ma ya ca ðýn dan,
Kü çük n de ðer le ri için bir tab lo yap tý ðý mýz da,

n 3 ile baþlayan sayýlar 1 ile baþlayan sayýlar a n b n

1 3 1 1 1
2 32 10, 12 1 2

3 321, 323 101, 121, 123 2 3
4 3210, 3212, 3232 1010, 1012, 1210, 1212, 1232 3 5

10101, 10121, 10123, 12101,
5 32101, 32121, 32123, 32321, 32323 5 8
12123, 12321, 12323
Tab lo da n > 0 için a = F ve bn = F n+1 ol du ðu an la þý lý yor. El de edi len bu ge nel du -
n
n
rum Tü me va rým la is pat la na bi lir.
F = F n – 2 + F n – 1
n
F = F + 2F
n+1 n – 2 n – 1
Olup so ru da ve ri len þart lar da is te nen n ba sa mak lý sa yý la rýn sa yý sý ný ve ren ge nel ifa de
F = F n – 2 + F n – 1 ya ni Fi bo nac ci di zi si dir. Bu na gö re F 10 = 55 tir.
n

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 439