Page 450 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 8.2 ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER

8. 1 ve 2 rakamlarýndan oluþan, ardýþýk dört 1 ve ardýþýk üç 2 içermeyen sayýlara iyi sayý

deniyor. n basamaklý iyi basamaklı sayıların sayısını a ile gösterirsek,
n
nýn deðeri kaçtýr?

Çö züm:
Çö züm:
1 ile biten n basamaklý iyi sayýlarýn sayýsýný p ile ve 2 ile biten n basamaklý iyi sayýlarýn
n
sayýsýný da q ile gösterelim. Buna göre, a = p + q n dir. Bir iyi sayý 21, 211, 2111,
n
n
n
12 veya 122 ile biter. Ýndirgemeli dizilerden,
p = q n – 1 + q n – 2 + q n – 3 ve q = p n – 1 + p n – 2 dir. Buradan
n
n
p = (q n – 2 + q n – 3 ) + (q n – 3 + q n – 4 ) + (q n – 4 + q n – 5 )
n
= q + 2.q + 2.q + q
n – 2 n – 3 n – 4 n – 5
q = (p n – 2 + p n – 3 + p n – 4 ) + (p n – 3 + p n – 4 + p n – 5 )
n
= p + 2.p + 2.p + p
n – 2 n – 3 n – 4 n – 5
Bu iki eþitliði taraf tarafa topladýðýmýzda,
a = p + q = a n – 2 + 2.a n – 3 + 2.a n – 4 + a n – 5 elde edilir. Buna göre,
n
n
n
a = a + a + 2(a + a ) dýr. O halde,
10 8 5 7 6

9. Bir Gazete daðýtýcýsý Karaaðaç caddesinde, caddenin doðu tarafýndaki 19 eve gazete
daðýtýyor. Gazete daðýtýcýsý ayný günde komþu iki eve gazete vermiyor. Fakat yan yana
üç ev yoktur ki hiç biri gazete almamýþ olsun. Bu þartlarda kaç farklý þekilde gazete
daðýtýmý yapýlabilir?
Çö züm:
Çö züm:
n ba sa mak lý "0" ve "1" ler den olu þan bir di zi ta ným la ya lým. Öy le ki, Bu di zi de 0 ra ka -
mý, ga ze te bý ra kýl ma yan ev le ri ve 1 ra ka mý da ga ze te bý ra ký lan ve ri len ev le ri tem sil
et sin. Bu na gö re di zi de ar dý þýk üç ta ne 000 ve ar dý þýk iki 11 bu lun ma ya cak. Bu þart -
la rý sað la yan n ba sa mak lý di zi sa yý sý ný f(n)ile gös te re lim. n ba sa mak lý di zi birleştir de
en sol da ki 1 in sa ðýn da 00 var sa bun la rýn sa yý sý ný a(n) ve 01 var sa bun la rýn sa yý sý ný
b(n) ile gös te re lim. Her n 5 için f(n) = a(n) + b(n) olur. Sol da ki 100 olu þu mu nu
si ler sek, a(n) = f(n – 3) ve 101 olu þu mun da 10 u si ler sek
b(n) = f(n – 2) ol du ðu nu gö re bi li riz. n 5 için f(n) = f(n – 2) + f(n – 1) dir. O hal -
de, f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 4 ol du ðu nu ko lay ca gör dük ten son ra,
f(n) = f(n – 2) + f(n – 1) 'i kul la na rak f(19) = 351 bulunur.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 449