Page 456 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 9.1 DEÐÝÞMEZLÝK (INVARIANCE) PRENSÝBÝ

1. Bir kü pün her bir yü zü ne bir po zi tif tam sa yý ya zý lý yor. Her bir kö þe ye de, kö þe si ol du -
ðu yüz ler de ki sa yý la rýn çar pý mý ya zý lý yor. Kö þe ler de ki ya zý lan sa yý la rýn top la mý 1001
ise, yüz ler de ya zý lý olan sa yý la rýn top la mý ne dir?

A) 27 B) 28 C) 29 D) 30 E) 31
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
Kü pün yüz le rin de ya zý lý olan sa yý lar þe kil de ki gi bi a, b, c, d, e, f

ol sun. Bu na gö re kö þe ler de ki sa yý la rýn top la mý

abc + abf + afe + aec + efd + bfd + bcd + ecd

= (a + d)(b + e)(c + f) olur.
a, b, c, d, e, f Z + ol du ðun dan a + d, b + e, c + f > 1 dir.

1001 = 7.11.13 ol du ðun dan a + d, b + e, c + f top lam la rý
7, 11, 13 olur. Bu na gö re, a + b + c + d + e + f = 31 dir.

2. S(n); n po zi tif tam sa yý sý nýn ra kam la rý top la mý ol mak üze re, n + S(n) + S(S(n)) = 2015
denk le mi ni sað la yan kaç fark lý n po zi tif tam sa yý sý var dýr?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap A)

S(n); n po zi tif tam sa yý sý nýn ra kam la rý top la mý ol mak üze re, S(n) – n = 9k (k Z)
dir. n + S(n) + S(S(n)) 0 (mod3) ve 2015 2 (mod3) ol du ðun dan bu denk le -
min çö zü mü yok tur.

3. 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 ra kam la rý kul la ný la rak (ra kam la rý fark lý) oluþ tu ru lan 6 ba sa mak lý sa -
yý la rýn kaç ta ne si bir do ðal sa yý nýn ka re si dir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Hiçbi ri

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 455