Page 460 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 9.1 DEÐÝÞMEZLÝK (INVARIANCE) PRENSÝBÝ

8. Ma sa üze rin de b ta ne be yaz, s ta ne si yah ve k ta ne kýr mý zý bil ye bu lun mak ta dýr. Her
adým da ma sa üze rin den fark lý renk te olan iki bil ye alý nýp ye ri ne üçün cü renk ten bir
bil ye ko nu lu yor. (b, k, s) üç lü sü nün aþa ðý da ki de ðer le ri nin han gi sin de bu iþ lem ler so -
nu cu ma sa üze rin de sadece bir be yaz bil ye ka la bi lir?

A) (2010, 2011, 2013) B) (2011, 2012, 2013) C) (2011, 2013, 2015)
D) (2010, 2012, 2014) E) (2013, 2013, 2013)
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap A)
Her ham le so nu cu be yaz (si yah kýr mý zý) bil ye le rin sa yý sý tek se çif te, çift se de te ke dö -
nü þü yor. O hal de so nun da tek bir be yaz bil ye, ya ni 1 be yaz, 0 si yah, 0 kýr mý zý bil ye kal -
ma sý için baþ lan gýç ta si yah ve kýr mý zý bil ye sa yý la rý nýn iki si nin de tek ve ya iki si nin de
çift ol ma sý, be yaz bil ye sa yý sý nýn bun la rýn ter si ne sý ra sýy la çift ve ya tek ol ma sý ge re kir.
Bu na gö re, a se çe ne ðin de ki si yah ve kýr mý zý lar tek, be yaz lar da çift ol du ðun dan bu se -
çe nek doð ru ce vap týr. (2010, 2011, 2013) du ru mun dan (1, 0, 0) du ru mu nun el de
edi le bi le ce ði ko lay ca gö rü lür.

9. Bir ku tu da 7 be yaz, 7 si yah bil ye bu lun mak ta dýr. Ýki tür iþ lem den bi ri, ku tu dan 3 si -
yah bil ye alý ný yor ve 2 be yaz bil ye ku tu ya ek le ni yor. Di ðe ri ise, ku tu dan 4 be yaz bil ye
alý ný yor ve ku tu ya 9 si yah bil ye ek le ni yor. Bu iþ lem ler be li sa yý da uy gu lan dý ðýn da ku -
tu da aþa ðý da ki bil ye sa yý la rýn dan han gi si ne ula þý la bi lir?

A) 3 be yaz, 15 si yah B) 3 beyaz, 11 si yah C) 4 beyaz, 14 si yah
D) 9 be yaz, 13 si yah E)10 be yaz, 10 si yah
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap D)
Si yah la rýn sa yý sý 3 aza lýr ve ya 9 ar tar. Bu na gö re, ku tu da ki si yah bil ye sa yý sý mod3 e
gö re de ðiþ mez. Be yaz la rýn sa yý sý ise 2 ar tar ve ya 4 aza lýr. Bu na gö re, ku tu da ki be yaz
bil ye sa yý sý mod2 ye gö re de ðiþ mez.
Si yah lar, 7 1 (mod3) be yaz lar, 7 1 (mod2) dir. 3 be yaz, 15 si yah için 15 0 (mod3)
ola maz. 11 2 (mod3), 14 2 (mod3), 10 be yaz, 10 si yah için 10 0 (mod2) dir.
9 be yaz, 13 si yah için ör nek;
(7, 7) (9, 4) (11, 1) (7, 10) (3, 19) (5, 16) (1,25) (3,22)
(5, 19) (7, 16) (9, 13)

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 459