Page 463 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

DEÐÝÞMEZLÝK (INVARIANCE) PRENSÝBÝ ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 9.1

Çö züm:
Çö züm: (Ce vap D)
Ve ri len sa yý 123456789 da gö rül dü ðü gi bi ra kam lar tek, çift, tek, çift… þek lin de sý ra lan -
mýþ týr. Her iþ lem de kom þu iki ra kam alý nýp bun lar bi rer azal tý la rak yer le ri de ðiþ ti ri le ce -
ðin den sa yý nýn ilk du ru mun da ki tek, çift, tek, çift… þek lin de sý ra la nýþ de ðiþ me ye cek tir.

So nuç ta ra kam lar dan beþ ta ne si tek sa yý ola ca ðýn dan Son lu sa yý da iþ lem den son ra el -
de edi le bi le cek en kü çük sa yý nýn ra kam la rý top la mý 5 ten da ha az ola maz. Bu du ru -
ma ör nek ise, son iki ra ka ma 8 kez, sað dan üçün cü ve dör dün cü ra kam la ra 6 kez, sað -
dan be þin ci ve al týn cý ra kam lar 4 kez, sað dan ye din ci ve se ki zin ci ra kam lar da 2 kez
iþ lem uy gu la nýr sa 101010101 sa yý sý el de edi lir.

15. Bir üç ge nin kö þe le rin de 0,1 ve 2 ya zý lý dýr. Bu üç ge nin üç kö þe sin den iki si ni se çip bu
iki kö þe de ki her bir sa yý yý 3 art tý ra rak ve ya bir ta ne si ni se çip se çi len kö þe de ki sa yý yý
6 azal ta rak yaz ma ya bir ham le de ni yor.
Son lu ham le den son ra üç ge nin kö þe le rin de aþa ðý da ki sa yý üç lü le rin den han gi si ni el -
de et mek müm kün dür?

A) (1, 2, 3) B) (2, 3, 4) C) (3, 4, 5) D) (4, 5, 7) E) (5, 6, 7)
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap B)
Üç ge nin üç kö þe sin de ki üç sa yý nýn top la mý 0 + 1 + 2 = 3 tür. Kö þe le re ya zý lan sa yý -
lar 6 aza lý yor ve ya ar tý yor. Bu na gö re, el de edi len top lam (mod6) ya gö re de ðiþ me mek -
te dir. Se çe nek ler de (mod6) ya gö re 3 e denk olan üç lü (2, 3, 4) üç lü sü dür. Þim di bu
du ru mun na sýl el de edi le bi le ce ði ni gös te re lim.
0, 1, 2 3, 1, 5 6, 4, 5 9, 7, 5 9, 10, 8 3, 4, 2 dir.

16. Tah ta da 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sa yý la rý ya zýl mýþ týr. Pý nar her bir adým da tah ta da ki iki sa yý a,
b yi si lip bu iki sa yý nýn ye ri ne ab + a + b de ðe ri ni ya zý yor. Pý nar bu iþ le me tah ta da bir
sa yý ka la na ka dar de vam et ti ðin de tah ta da ka lan sa yý ne olur?

A) 5036 B) 5038 C) 5039 D) 5040 E) 5043
Çö züm 1:
Çö züm 1: (Ce vap C)
Pý nar'ýn sa yý a, b yi si lip bu iki sa yý nýn ye ri ne ab + a + b de ðe ri ni yaz ma sý de mek,
ab + a + b = (a + 1)(b + 1) = c + 1 yaz ma sý de mek tir. Pý na rýn tah ta ya ya za ca ðý c
sa yý sý tah ta da ki a, b sa yý la rý nýn çar pý mý olup, ya pý lan çar pým lar iþ le min so nu cu nu de -
ðiþ tir me ye cek tir.
Bu na gö re Pý nar'ýn tah ta ya ya za ca ðý tek sa yý 2.3.4.5.6.7 – 1 = 5040 – 1 = 5039 dur.

462 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk