Page 462 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 9.1 DEÐÝÞMEZLÝK (INVARIANCE) PRENSÝBÝ

12. 2 2012 sa yý sý nýn ilk ra ka mý ný si lip bu nu ge ri ye ka lan sa yý ya ek li yo ruz. Bu iþ le mi tek ba -
sa mak lý bir sa yý el de edi le ne ka dar tek rar lar sak so na ka lan tek ra kam ne ola cak?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap C)
2 2012 = a a a … a a ol sun Ýlk adým da sa yý mýz a a … a a + a ola -
n n – 1 n – 2 1 0 n – 1 n – 2 1 0 n
2
6 335
cak týr. Sa yý nýn de ðe ri mod 9 da de ðiþ me ye ce ðin den 2 2012 (2 ) .2 4 (mod 9) bu -
lu nur.

13. 1, 2, 3, …, 2012 sa yý la rý tah ta ya her bi ri bir de fa ol mak üze re is te ni len sý ray la ya zý la -
bi li yor. Da ha son ra her kom þu iki sa yý si li ni yor ve bu iki sa yý nýn ye ri ne fark la rý nýn
mut lak de ðe ri ya zý lý yor. Bu iþ lem tah ta da tek sa yý ka la na ka dar de vam et ti ri li yor. Bu -
na gö re tah ta da ka lan en son sa yý en çok kaç ya pý la bi lir?

A) 2012 B) 2011 C) 2010 D) 1006 E) 1005
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap C)
Tah ta da ki en bü yük sa yý hiç bir adým da art tý rý la maz çün kü ne ga tif ol ma yan iki sa yý nýn
far ký nýn mut lak de ðe ri alý nan bu iki sa yý nýn en bü yü ðün den da ha bü yük ola maz. Ýlk
adým dan son ra el de edi le bi le cek en bü yük sa yý 2011 ve en kü çük sa yý 1 dir. Ýkin ci
adým dan son ra el de edi le bi le cek en bü yük sa yý 2010 dur. Bu da tah ta da hiç bir za man
2010 dan bü yük sa yý nýn el de edi le me me si de mek tir.

Þim di 2010 sa yý sý nýn tah ta da na sýl bý ra ka bi le ce ði mi zi gös te re lim. Tah ta da ki sa yý la rý,
2012, 1, 2, 3, 4, 5, …, 2011 þek lin de ya za lým. Bun la rý, ilk adým da,

|2012 – 1|, |2 – 3|, …, |2010 – 2011| þek lin de yaz dý ðý mýz da ikin ci adým dan son ra
2010, 0, 0, 0, 0, …, 0 di zi li mi ni el de ede riz. Bu þe kil de de vam et ti ði miz de de son ola -
rak tah ta da 2010 sa yý sý ka lýr.

14. Ýlk baþ ta 123456789 sa yý sý alý na rak her adým da sý fýr dan fak lý iki kom þu ra kam alý nýp,
bun lar bi rer azal tý la rak yer le ri de ðiþ ti ri li yor. (Ör ne ðin ilk iki adým þu þe kil de ola bi lir:
123436789, 123452789). Son lu sa yý da iþ lem den son ra el de edi le bi le cek en kü çük sa -
yý nýn ra kam la rý top la mý kaç olur?

A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) 9

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 461