Page 427 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

GÜVERCÝN YUVASI PRENSÝBÝ ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 7.1

19. Ku tu da ma vi ve kýr mý zý ol mak üze re top lam 30 ta ne bil ye bu lu nu yor. Her han gi 12 bil -
ye den en az bi ri ma vi dir, her han gi 20 bil ye den en az bi ri kýr mý zý dýr. Ku tu da kaç ma vi
bil ye var dýr?

A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
Ma vi bil ye le rin sa yý sý ný m, kýr mý zý bil ye le rin sa yý sý ný da k ile gös te re lim. Kýr mý zý bil ye -
le rin sa yý sý 11'den bü yük ol say dý, ma vi ol ma yan 12 bil ye ala bi le cek tik, do la yý sýy la
k 11'dir. m > 19 ol say dý, 20 ta ne ma vi bil ye ala bi le cek tik, do la yý sýy la m 19'dur.
k + m = 30 ol du ðun dan,
k = 11, m = 19 ol mak zo run da dýr.

20. 1'den 100'e ka dar olan tüm tam sa yý la rýn her per mü tas yo nun da top la mý A'dan kü çük
ol ma yan 10 ta ne art ar da ge len sa yý bu lun ma sý ný sað la yan en bü yük A sa yý sý ný bu lu nuz.

A) 503 B) 504 C) 505 D) 506 E) 507
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap C)
1 + 2 + ... + 100 = 5050 olduðundan A 505 olduðunu söyleyebiliriz. Gerçekten
permütasyonunu aldýðýmýzda
2
1
1, 2, 3, ..., 100 sayýlarýnýn herhangi a , a , ..., a 100
< 505
1
2
a + a + ... + a 10 < 505; a 11 + a 12 + ... + a 20 < 505, ..., a 91 + a 92 + ... + a 100
< 505.10 = 5050 elde ede-
1
2
olsaydý, 5050 = 1 + 2 + ... + 100 = a + a + ... + a 100
505 tir.
cektik. Dolayýsýyla, bir k {0, 1, ..., 9} için a 10k+1 + ... + a 10k+2 + a 10k+10
Böylece A 505 tir. A 505 olduðunu göstermek için þöyle bir permütasyon alalým:
= n; 1 n 50.
100, 1, 99, 2, 98, 3, ..., 51, 50 yani a 2n–1 = 100 – n + 1; a 2n
Bu diziden art arda gelen 10 sayý aldýðýmýzda ilk sayý çift indeksli ise,
)
a +a 2k+1 +...+a 2k+9 = (a +a 2k+2 +...+a 2k+8 )+(a 2k+1 +a 2k+3 +...+a 2k+9
2k 2k
= [k+(k+1)+...(k+4)]+[(100 – k)+(100 – (k+1))+...+
(100 – (k+4))]
= 500 olacak.

Böylece A 505 tir.
Daha önce A 505 olduðunu göstermiþtik. A = 505 tir.

426 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk