Page 422 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 7.1 GÜVERCÝN YUVASI PRENSÝBÝ

8. {1, 2, 3, …, 29, 30} kü me si bi ri di ðe ri nin 3 ka tý olan ele man la rý içer mi yor sa bu na
olim pik kü me de ni yor. Eðer bir olim pik kü me var ve bun dan da ha çok ele ma ný olan
bir üst kü me yok sa bu na da sü per olim pik kü me de ni yor. Bu na gö re kaç fark lý sü per
olim pik kü me ya zý la bi lir?

A) 3 B) 11 C) 25 D) 32 E) 96
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
{1, 2, 3, …, 29, 30} kü me si nin ele man la rý ný aþa ðý da ki gi bi par ça la ya lým.

{1, 3, 9, 27},
{2, 6, 18},
{5, 15}, {7, 21}, {8, 24}, {10, 30}, {4, 12},

{11}, {13}, {16}, {17}, {19}, {20}, {22}, {23}, {25}, {26}, {28},{29}
Yu ka rý da ki kü me le rin den üçün ka tý olan lar dan bi rer ele man alý na rak oluþ tur lu la cak
tüm kü me ler olim pik kü me olur. Oluþ tu ru la bi le cek fark lý sü per olim pik kü me le rin
sa yý sý ise,

{1, 3, 9, 27} kü me sin den {1, 9}, {3, 27}, {1, 27} üç fark lý þe kil de ele man lar alý na bi -
lir. {2, 6, 18} kü me sin den ise {2, 18} ele man la rý alý na bi lir. {5, 15}, {7, 21}, {8, 24},
{10, 30}, {4, 12} kü me le rin den bi rer ele man alý na bi lir. {11}, {13}, {16}, {17}, {19},
{20}, {22}, {23}, {25}, {26}, {28}, {29}
5
Kü me le rin de ki ele man la rýn ta ma mý alý na bi lir. Bu da, 3.1.2 .1 12 = 96 fark lý sü per
olim pik kü me nin ta ným la na bil me si de mek tir.

9. n ta ne üç ba sa mak lý sa yý na sýl se çi lir se se çil sin bun la rýn ara sýn da 7 mo dun da bir bi ri -
ne denk olan en az beþ ta ne si ve 9 mo dun da bir bi ri ne denk olan en az dört ta ne si bu -
lu nur sa, n en az kaç týr?

A) 5 B) 28 C) 29 D) 36 E) 37
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap C)
Bir sa yý mod 7 de 7 fark lý de ðer ala bi lir. n ta ne üç ba sa mak lý sa yý na sýl se çi lir se se çil -
sin bun la rýn ara sýn da 7 mo dun da bir bi ri ne denk olan en az beþ ta ne si nin ol ma sý için
Gü ver cin Yu va sý il ke sin den, 4.7 + 1 = 29 bu lu nur. 29 sa yý içe ri sin de de 3.9 + 1 = 28
ol du ðun dan 9 mo dun da bir bi ri ne denk olan Gü ver cin Yu va sý Ýl ke si ne gö re, en az dört
ta ne si nin bu lun ma sý ke sin dir.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 421