Page 328 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 3.2 KOMBÝNASYON

7. On al tý öz deþ bil ye 4 fark lý ku tu ya ku tu lar dan bi rin de ki bil ye le rin sa yý sý di ðer üç ku -
ta da ki bil ye le rin top la mýn dan bü yük ol ma ya cak ve her ku tu da en az bir bil ye ola cak
þe kil de kaç far ký bi çim de da ðý tý la bi lir?
Çö züm:
Çö züm:
Dört ku tu yu a, b, c, d þek lin de gös te re lim. 16 bil ye öz deþ ol du ðun dan,

a + b + c + d = 16 dýr.
a b + c + d ola ca ðýn dan a 8 dir. O hal de, 1 a, b, c, d 8 dir. Ku tu lar dan bi rin -
de 8 den faz la ol ma sý du ru mun da di ðer ku tu lar dan her han gi bi rin de ki bil ye le rin sa -
yý sý di ðer üç ku tu da ki bil ye le rin sa yý la rý top la mýn dan bü yük ol maz. Ku tu lar dan bi rin -
de ki bil ye sa yý sý 8 den bü yük olur sa a = a – 8 olup, a + b + c + d = 16 denk le mi -
nin po zi tif tam sa yý lar da ki çö züm sa yý sý dýr. Bu da,

x
8. x, y, z her han gi iki si alýn dý ðýn da bir bi rin den fark lý olan do ðal sa yý lar dýr. S, 2 + 2 + 2 z
y
top la mý nýn so nu cu olan sa yý lar dan olu þan bir kü me dir. Bu na gö re, S’nin en kü çük
100. ele ma ný kaç týr?
Çö züm:
Çö züm:
So ru yu bi raz açar sak, ör ne ðin bu kü me nin en kü çük ele ma ný x, y, z do ðal sa yý la rý
1
0
2
0, 1, 2 ol mak üze re, 2 + 2 + 2 = 7, en kü çük ikin ci el ma ný, x, y, z do ðal sa yý la rý
3
0
z
1
x
y
0, 1, 3 ol mak üze re, 2 + 2 + 2 = 11 dir. 2 + 2 + 2 de x, y, z do ðal sa yý la rý ný
{0, 1, 2, …, 8} kü me sin den üçü nü se çe rek S kü me si ni oluþ tu rur sak, S kü me si nin ele -
man sa yý sý olur. Ya ni 84 ele ma ný en kü çük ten bü yü ðe doð ru sý ra la rýz. Bu
8
7
6
84 ele ma nýn en bü yü ðü ise, 2 + 2 + 2 = 448 dir. ol du ðun dan, biz
y
9
x
2 + 2 + 2 , y < x < 9 for mun da 16. En kü çük el ema ný bul ma lý yýz. {0, 1, 2, …, 5}
6
0
9
kü me si için ol du ðun dan, 100. En kü çük ele man 2 + 2 + 2 = 577 olur.
9. a b c ol mak üze re, a.b.c = 1000 eþit li ði ni sað la yan kaç fark lý (a, b, c) sý ra lý po zi tif
tam sa yý üç lü sü var dýr?

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 327