Page 327 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

KOMBÝNASYON ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 3.2

Çö züm:
Çö züm:
a a için kü çük ve ya eþit lik du ru mu nu sa de ce kü çük tür ha li ne ge ti re bi lir sek so ru -
2
3
nun çö zü mü ne kom bi na soy nal gi de bi li riz.
b = a
1 1
b = a
2 2
b = a + 1
3 3
b = a + 2
4 4
b = a + 2
5 5
b = a + 3
6
6
þeklinde düzenleyelim. Buna göre, 1 b < b b b < b b 13 eþitsizliðini
5
1
6
2
4
3
saðlayan (b , b , b , b , b , b ) altýlýsýnýn sayýsý çözümü verir.
1 2 3 4 5 6
b , b , b , b , b , b {1, 2, ..., 12, 13} olmak üzere b < b b < b < b < b saðlayan
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
(b , b , b , b , b , b ) altýlýsýný bulmak için 13 elemandan 6 sýný seçeriz. Bunlarýn kendi
1 2 3 4 5 6
aralarýndaki sýralanýþý tek türlüdür.
Örneðin, {1, 2, ..., 12, 13} kümesinin altý elemanlý alt kümelerinden biri yani seçilen
altý eleman 2, 3, 5, 6, 9, 11 olsun. Bunlarýn karþýlýðý ise,
2 3 5 6 9 11

b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6
a a a + 1 a + 2 a + 2 a + 3
1 2 3 4 5 6

olup a = 2, a = 3, a = 4, a = 4, a = 7, a = 8 dir.
3
2
4
6
5
1
{1, 2, ..., 9, 10} kümesine x elemanýný ekleyelim 6 elemenlý alt kümede x in
olmasý, a a olmasý durumunu versin. a a olmasý durumu için y elemanýný
2 3 3 4
ve a a durumu içinde z elemanýný eklersek, sorudaki tüm durumlar saðlanmýþ
5 6
olur. buna göre sorunun çözümü on üç {1, 2, ..., 10, x, y, z} kümesinin altý ele-
manlý alt kümelerin sayýsýdýr.
a = 2, a = 3, a = 4, a = 4, a = 7, a = 8 için altý elemanlý alt küme
4
2
3
6
1
5
{2, 3, 4, x, 7, 8} dir.
326 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk