Page 318 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 3.1 KOMBÝNASYON

28. {1, 2, 3, …, 2014} kü me si nin, en bü yük ve en kü çük el man la rý nýn top la mý 2015 olan
alt kü me le ri nin sa yý sý nýn 11 ile bö lü mün den ka lan kaç týr?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap C)
En bü yük ele man 2014 ol du ðun dan, top la mýn 2015 ol ma sý için en kü çük ele man 1
ol ma lý dýr. Bu na gö re en bü yük ele ma nýn 2014 ve en kü çük ele ma nýn 1 ol du ðu alt
kü me le rin sa yý sý {2, 3, …, 2013} ün alt kü me le ri nin ta ma mý dýr. Bu da 2 2012 dir. Ay -
ný þe kil de en bü yük ele ma nýn 2013 ve en kü çük ele ma nýn 2 ol du ðu alt kü me le rin sa -
yý sý {3, 4, …, 2012} ün alt kü me le ri nin ta ma mý dýr. Bu da 2 2010 dur. Bu þe kil de de vam
edil di ðin de,

5 201
5
2
4 1 (mod11) ve 4 1007 = (4 ) .4 5 (mod11)
29. Do ðal sa yý la rýn iki lik ta ban da ya zý lý þýn da sa de ce 1 ve 0 ra kam la rý bu lu nur. Ör ne ðin
5 = (101) dir. 512, 513, 514, …, 2047 sa yý la rý 2 lik ta ban da ya zýl dý ðýn da, kaç ta ne si -
2
nin 0’la rý nýn sa yý sý 1’le ri nin sa yý sýn dan faz la ola cak týr.

A) 484 B) 516 C) 642 D) 768 E) Hiçbi ri
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap B)
9
Sa yý lar 2 = 512 ve 2 11 = 2048 ara sýn da ol du ðun dan, iki lik ta ban da 10 ve 11 ba sa -
mak lý sa yý la rý in ce le ye ce ðiz. Bu iki du ru mu ay rý ay rý in ce le ye lim. Sa yý mýz 10 ba sa -
mak lý ol du ðun da, ilk ba sa mak 1 ol ma sý ge rek ti ðin den, ge ri ka lan 9 ra kam 1 ve ya 0 ola -
cak týr. 0’la rýn sa yý sý 1’le rin sa yý sýn dan faz la ola ca ðýn dan 6, 7, 8 ve ya 9 sý fýr ola bi lir. Bu -
na gö re 9 yer den 6, 7, 8 ve ya 9 ye ri se çer bu ra la ra 0 ya za rýz. Bu da,

Þa yet sa yý mýz 11 ba sa mak lý olur sa, ilk ra kam 1 ola ca ðýn dan ge ri ye 10 yer ka lýr. 0 la rýn

sa yý sý 6, 7, 8, 9 ve ya 10 ola bi lir. Bu da,

Bu na gö re, ara nan top lam 130 + 386 = 516 bu lu nur.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 317