Page 294 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 2.2 PERMÜTASYON

3. 10 dan kü çük a, b, c po zi tif tam sa yý la rý ile a . b . c çar pý mý yir mi nin ka tý ola cak þe kil -
de kaç fark lý (a, b, c) sý ra lý üç lü sü ta ným la na bi lir?
Çö züm:
Çö züm:
a . b . c çarpýmý yirminin katý ve a, b, c {1, 2, 3, …, 8, 9} olduðuna göre a, b, c
sayýlarýndan biri 5 olmak zorundadýr. Geriye kalan iki sayý b, c {2, 4, 6, 8} veya
b {4, 8} ve c {1, 3, 7, 9} olmalýdýr. Buradaki farklý durumlarý; (2, 5, 6), (2, 5, 2),
(4, 5, 1) ve (5, 5, 4) tür. (2, 5, 6) için farklý üçlülerin sayýsý; (2, 4, 5), (2, 6, 5), (2, 8,
5), (4, 6, 5), (4, 8, 5), (6, 8, 5) olup bunlardan her biri 6 farklý þekilde dizilecek-
lerinden 6 . 6 = 36 farklý þekilde gerçekleþir. (2, 5, 2) için (2, 2, 5), (4, 4, 5), (6, 6, 5,
(8, 8, 5) olup bunlarýn farklý diziliþlerinin sayýsý ise 3 . 4 = 12 dir. (4, 5, 1) þeklinde-
ki farklý diziliþlerin sayýsý ise 6 . 8 = 48 farklý þekilde gerçekleþir. (5, 5, 4), (5, 5, 8)
þeklindeki farklý diziliþlerin sayýsý 6 dýr. O halde aranan durumlarý sayýsý kýsaca;
36 + 12 + 48 + 6 = 102 dir.

Bu durumu kýsaca þeklinde hesaplayabiliriz.

4. n 0 ol mak üze re, 5n + 4 for mun da ki po lin dro mik sa yý la rý kü çük ten bü yü ðe doð ru
sý ra lan dý ðýn da 50. sa yý ne olur?
Çö züm:
Çö züm:
5n + 4 formundaki polindromik sayýnýn birler basamaðý 4 veya 9 olur. Bir basamaklý
polindromik sayý 4 ve 9 dur. Ýki basamaklý polindromik sayýlar 44,99 dur. Üç basamak-
lý sayýlar ise 4a4 ve 9a9 formunda a 0, 1, 2, 3, …, 9 olup bunlarýn sayýsý 20 tanedir.
4aa4 ve 4aa4 formundaki polindromik sayýlarýn sayýsý da 20 tanedir. Buraya kadar
olanlarýn sayýsý 44 tür. 45., 46., 47., 48., 49., 50. sayýlarý þu þekilde bulunabilir. 45.
polindromik sayý 40004, 46. polindromik sayý 40104, 47. polindromik sayý 40204, 48.
polindromik sayý 40304, 49. polindromik sayý 40404, 50. polindromik sayý 40504 olur.

5. Tam ola rak ra kam la rýn dan bi ri 1 ve di ðe ri 3 olan dört ba sa mak lý kaç fark lý sa yý var dýr.
Çö züm:
Çö züm:
Sayýnýn binler basamaðý 1 ve 3 ten birisi ise, binler basamaðý içim 2 farklý durum
vardýr. Bunlardan diðeri için de yazýlabilecek 3 farklý yer vardýr. Geriye kalan iki fark-
lý yeri de 8 × 8 = 64 farklý þekilde yazabiliriz. Buna göre, binler basamaðý 1 ve 3
rakamlarýndan birinin olduðu dört basamaklý; 2 . 3 . 8 . 8 = 384 farklý sayý vardýr.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 293