Page 293 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

PERMÜTASYON ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 2.2

1. Ra kam la rý çar pý mý 2000 olan beþ ba sa mak lý kaç sa yý var dýr?
Çö züm:
Çö züm:
4
3
2000 = 2 . 5 dür. Beþ ba sa mak lý abc de sa yý sý nýn ra kam la rý çar pý mý 2000 ise
{a, b, c, d, e} = {5, 5, 5, 2, 8} olup bun la rýn fark lý di zi liþ le ri nin sa yý sý veya

{a, b, c, d, e} = {5, 5, 5, 4, 4} olup bun la rýn fark lý di zi liþ le ri nin sa yý sý

dur. Bun la rýn top lam ise 20 + 10 = 30 dur.

2. 1 ve ya 2 ra ka mý ný kul la na rak ya zý lan n ba sa mak lý po lin drom sa yý da 1 ve 2 ra kam la -
rýn dan her bi ri en az bir de fa kul la ný lý yor. 2002 ve ya da ha faz la po lin drom sa yý yazıla-
biliyorsa n en az kaç olur?
Çö züm:
Çö züm:
So ru nun çö zü mü nü n nin tek ve çift ol ma du ru mu na gö re in ce le ye lim.
ii) n çift ol sun. k po zi tif tam sa yý sý için n = 2k for mun da ol sun. 2k for mun da ki po -
lin drom bir sa yý ilk k ba sa ma ðý ile be lir le nir. Son ra ki ler bu k ba sa mak ta ki le re bað -
k
lý dýr. 1, 2 ra kam la rý ile ya zý la bi le cek k ba sa mak lý fark lý sa yý la rýn sa yý sý 2 dýr. Fa kat
so ru da po lin drom sa yý da 1 ve 2 ra kam la rýn dan her bi ri en az bir de fa kul la nýl dý -
ðýn dan sa de ce 1 ve sa de ce 2 ra ka mý ile olu þan iki polindrom sa yý yý el de edi len 2 k
k
ta ne po lin drom sa yý dan çý kart ma lý yýz. Bu da 2 – 2 ta ne de mek tir. k = 10 için
2 10 – 2 = 1022 ve k = 11 için 2 11 – 2 = 2046 olup, n çift sa yý ol ma sý du ru mun -
da n en az n = 22 olur.

ii) n tek ol sun. k po zi tif tam sa yý sý için n = 2k + 1 for mun da ol sun. 2k + 1 for mun -
da ki po lin drom bir sa yý ilk k + 1 ba sa ma ðý ile be lir le nir. Son ra ki ler bu k + 1 ba -
sa mak ta ki le re bað lý dýr. 1, 2 ra kam la rý ile ya zý la bi le cek k + 1 ba sa mak lý fark lý sa yý -
la rýn sa yý sý 2 k+1 dýr. Fa kat so ru da po lin drom sa yý da 1 ve 2 ra kam la rýn dan her bi -
ri en az bir de fa kul la nýl dý ðýn dan sa de ce 1 ve sa de ce 2 ra ka mý ile olu þan iki
pol drom sa yý yý el de edi len 2 k+1 ta ne po lin drom sa yý dan çý kart ma lý yýz. Bu da
2 k+1 – 2 ta ne de mek tir. k = 10 için 2 10+1 – 2 = 2046 olup, n tek sa yý ol ma sý du -
ru mun da n en az n = 2 . 10 + 1 = 21 olur.
O hal de so ru da ve ri len þart lar da en az n = 21 olur.

292 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk