Page 299 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

PERMÜTASYON ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 2.2

Çö züm:
Çö züm:
M I S S I S S I P P I ke li me si nin harf le ri fark lý þe kil de sýr lan dý ðýn da el de edi len ye ni ke li -
me nin baþ tan ve son dan okun du ðun da ay ný ol ma sý için M har fi or ta da ol ma lý dýr. Bu ra da
dört I, dört S ve iki P har fi var dýr. Bun la rýn ya rý sý olan I, I, S, S, P harf le ri M nin sa ðýn da

fark lý þe kil de sý ra la nýr lar. Di ðer ya rý sý da sa ða gö re tek türlü sý ra la nýr lar.

15. Bir sa yý nýn on da lýk gös te ri mi a a a … a ol sun. Bu na gö re a tek ra kam iken
1 2 3 k i
a < a ve a çift ra kam iken a > a ise bu sa yý ya mo no ton sa yý di ye lim. Bu na
i i+1 i i i+1
gö re dört ba sa mak lý kaç ta ne mo no ton sa yý var dýr?
Çö züm:
Çö züm:
Monoton sayýnýn ondalýk gösterimi a a a … a olsun. Sabitlenmiþ her bir a deðeri
1 2 3 k i+1
için a dört farklý deðer almaktadýr. Örneðin a = 8 veya 9 iken a {1, 3, 5, 7} dir.
i i+1 i
a = 4 veya 5 iken a {1, 3, 6, 8} dir. Buna göre, a için 10 farklý seçenek var iken
i+1 i k
diðer basamaklar için 4 seçenek vardýr. k basamaklý 4 k – 1 . 10 farklý monoton sayý
vardýr. Buna göre, k basamaklý 4 4 – 1 . 10 = 640 farklý monoton sayý vardýr.
n
16. n N için (n + 1)(n + 2)(n + 3) … (2n) ça pý mý nýn 2 ile bö lün dü ðü nü gös te ri niz.
Çö züm:
Çö züm:
Bu sorunun çözümünü başka bir sorunun çözümü ile ilişkilendirelim.”2n elemanlı bir A
kümesinin elemanları, 2 elemandan oluşan ikililere kaç farklı şekilde ayrılır? Bu ayırma işlemi
ikililer, A kümesinin 2 elemanlı alt kümeleri, herhangi iki alt kümenin kesişimi boş küme olacak
ve bu ikililerin birleşimi A kümesini oluşturacak.
Örneğin,
{1,2},{3,4}; {1,3},{2,4}; {1,4},{2,3}

Şeklinde üç farklı şekilde ayrılır.
Şimdi 2n elemanı
{1,2},{3,4},…,{2n-1,2n} yani (2n)! farklı şekilde dizeriz. Daha sonra her bir ikilideki yer
değiştirmeleri 2! ile bölerek tek duruma getiririz. Yani {a,b},{b,a} durumunu 2! ile bölerek
aynı saymış oluruz. Daha sonra yan yana olan n tane dizilişin farklılıklarını da n!’e bölerek

aynı şekilde tek duruma indirgeriz. Bu da, demektir. O halde

n
(n+1)·(n+2)·…·(2n)= olur ve bu da 2 |(n+1)·(n+2)·…·(2n) demektir
.
298 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk