Page 281 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

SAYMA YÖNTEMLERÝ ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 1.2

Çö züm:
Çö züm:
Sa yý mýz 1000 ile 9999 ara sýn da bir sa yý ola ca ðý na gö re, dört ba sa mak lý bir sa yý ola cak -
týr. Bu sa yý yý abcd þek lin de ya zar sak, a + b = c + d ol ma lý dýr. a, b, c, d bi rer ra kam
ol du ðun dan, a > 0, b, c, d {0, 1, 2, 3, …, 8, 9} dur.

Bu na gö re, 1 a + b = c + d 18 ola cak týr.
a + b = c + d = 1 için (a, b) {(1, 0)} ve (c, d) {(1, 0), (0, 1)} ya ni 1 . 2 = 2
fark lý du rum var dýr.
a + b = c + d = 2 için (a, b) {(2, 0), (1, 1)} ve (c, d) {(2, 0), (0, 2), (1, 1)} ya -
ni 2 . 3 = 6 fark lý du rum var dýr.

Bun la rý a + b = c + d = 9 için de 9.10 þek lin de ge nel le ye bi li riz.
Bu ra da a + b = c + d =10 ol ma sý du ru mun da (a, b) iki li si (10, 0) ola maz.
O hal de, 10 a + b = c + d 18 du rum la rý için fark lý bir ge nel le me yap ma lý yýz.

• a + b = c + d = 10 için fark lý du rum la rýn sa yý sý ný in ce le ye lim. a + b = 10 ol du -
ðun da a = 9 için b = 1, a = 8 için b = 2, …., a = 1 için b = 9 olup 9 ta ne dir.
Bu du rum c + d = 10 için de ay ný þe kil de dir. Ya ni +b = c + d = 10 ol ma sý du -
2
ru mun da (a, b) ve (c, d) iki li le ri nin sa yý sý 9 . 9 = 9 bu lu nur.
• a + b = c + d = 11 için fark lý du rum la rýn sa yý sý ný in ce le ye lim. a + b = 12 ol du -
ðun da a = 9 için b = 2, a = 8 için b = 3, …., a = 2 için b = 9 olup 8 ta ne dir. Bu
du rum c + d = 11 için de ay ný þe kil de dir. Ya ni +b = c + d = 11 ol ma sý du ru -
2
mun da (a, b) ve (c, d) iki li le ri nin sa yý sý 8 . 8 = 8 bu lu nur.
Bu na gö re ara nan fark lý du rum la rýn sa yý sý;
2
2
2
1 . 2 + 2 . 3 + ... + 9 . 10 + 9 + 8 + ... + 1 = 615 bu lu nur.
Bu du ru mu,

þek lin de de ya zýp gös te re bi li riz.

28. a ve b, sý fýr dan fark lý ra kam lar dan olu þan po zi tif tam sa yý lar ol mak üze re,
a + b = 1000 eþit li ði ni sað la yan kaç fark lý (a, b) po zi tif tam sa yý iki li si var dýr?

280
280 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk