Page 277 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

SAYMA YÖNTEMLERÝ ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 1.2

19. 1 den 2014 e ka dar olan do ðal sa yý lar dan ka çý nýn ra kam la rý top la mý 5 ile bölü nür?
Çö züm:
Çö züm:
1 ile 9 ara sýn da ra kam la rý top la mý 5 ile bö lü ne bi len bir ta ne sa yý var dýr. 1 n 200
için 10n den 10n + 9 ara sýn da ra kam la rý top la mý 5 olan iki sa yý var dýr. Bu na gö re, 1
den 2014 e ka dar olan do ðal sa yý lar dan top lam 1 + 2 . 200 + 1 = 402 sa yý nýn ra kam -
la rý top la mý 5 in ka tý dýr.

20. 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, … di zi (örün tü)sü aþa ðý da ki ku ra la gö re oluþ -
tu ru lu yor. Yan ya na son suz çok luk ta "1" ya zý lý yor. Sol dan baþ la ya rak ilk "1" ile ikin ci
"1" ara sý na bir ta ne 2, ikin ci "1" ile üçün cü "1" ara sý na iki ta ne iki ve üçün cü "1" ile
dör dün cü "1" ara sý na üç ta ne 2 ya zý la rak de vam edi li yor. Da ha son ra di zi (örün tü) nin
n. te ri mi a þek lin de gös te ri li yor. Ör ne ðin, a = 1, a = 2 gi bi.
n 1 5
Bu na gö re a . a + a . a + a . a + ... + a . a top la mý kaç týr?
1 2 2 3 3 4 2013 2014
Çö züm:
Çö züm:
1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1… þek lin de ki bir di zi için,

a . a + a . a + a . a + ... + a . a çar pý mý ný tüm terimleri 2 olarak alalım.
1 2 2 3 3 4 2013 2014
Bu durumda a . a = 2 . 2 = 4 þek lin de 2013 . 4 = 8052 dir. Bu di zi de
i j
için tane 1 ge çe ce ðin den n = 62 dir. 1 in sað ve

so lun da ki 2 ler le çar pým dan 1 . 2 = 2 ola ca ðýn dan 8052 den 62 . 4 = 248 i çý kar týp
2 ek le me miz ge re kir. Çün kü en baþ ta 1 in so lun da 2 yok tur. Bu da 8052 – 248 + 2
= 7806 dýr.

6
2
2
2
21. {10 + 1,10 + 2,10 + 3, …, 10 + 1} kü me si nin ele man la rýn dan kaç ta ne si tam
ka re sa yý dýr?
Çö züm:
Çö züm:
6
2
2
10 + 1 den bü yük ilk tam ka re sa yý 11 dir. 10 + 1 dan kü çük en bü yük tam ka re
6
2
sa yý 10 = 1000 dir. A = {11, 12, …, 1000} kü me si nin ele man sa yý sý so ru nun çö zü -
mü olur. |A| = 990 dýr.
276 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk
276