Page 273 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

SAYMA YÖNTEMLERÝ ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 1.2

11. ekok(m, n) = 21600 eþit li ði ni sað la yan kaç fark lý (m, n) po zi tif tam sa yý iki li si var dýr?
Çö züm:
Çö züm:
2
3
5
21600 = 2 . 3 . 5 þek lin de asal çar pan la rý na ay rý lýr. 21600 sa yý lý m, n po zi tif tam
sa yý la rý nýn en kü çük or tak ka tý ol du ðun dan 21600 sa yý sý m ve n sa yý la rý na bö lü ünür.
b
c
a
x
y
z
Bu na gö re, m = 2 . 3 . 5 ve n = 2 . 3 . 5 for mun da dýr. Ekok un ta ný mýn dan
3
5
ekok(m, n) = 2 max(x, a) . 3 max(y, b) . 5 max(z, c) = 2 . 3 . 5 2 dir.
O hal de, max(x, a) = 5, max(y, b) = 3 ve max(z, c) = 2 tür.
Bu na gö re, max(x, a) = 5, max(y, b) = 3 ve max(z, c) = 2 eþit lik le ri nin çö zü mü olan
do ðal sa yý (x, a); (y, b); (z, c) iki li le ri nin sa yý sý ný bu lalým.
max(x, a) = 5 ise x = 5 için a = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ola bi lir ve a = 5 için
x = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ola bi lir. Bu ra da a = x = 5 iki de fa sa yýl dý ðýn dan, max(x, a) = 5
eþit li ði ni sað la yan (x, a) do ðal sa yý iki li le ri nin sa yý sý 2 . 6 – 1 = 11 dir. Ay ný þe ki de
max(y, b) = 3 eþit li ði ni sað la yan (y, b) do ðal sa yý iki li le ri nin sa yý sý 2 . 4 – 1 = 7 ve
max(z, c) = 2 eþit li ði ni sað la yan (z, c) do ðal sa yý iki li le ri nin sa yý sý 2 . 3 – 1 = 5 tir.
Bu ra dan ekok(m, n) = 21600 eþit li ði ni sað la yan kaç fark lý (m, n) po zi tif tam sa yý ikil -
li le rin sa yý sý; 11 . 7 . 5 = 385 bu lu nur.

12. {1, 2, 3, …, n} kü me sin de ki n ele man ile aþa ðý da ki ve ri len þart lar da ya zý la bi len sa yý -
ya se vim li sa yý de ni yor. {1, 2, 3, …, n} kü me si nin ilk k ra ka mýnýn oluþ tur du ðu sa yý
k = 1, 2, 3, …, n için k ya bö lü nü yor. Ör ne ðin {1, 2, 3, 4} kü me sin de ki ele man lar ile
oluþ tu ru lan dört ba sa mak lý sa yý abcd ol sun. 1|a, 2|ab, 3|abc, 4|abcd ise abcd sa yý sý
se vim li sa yý dýr. Bu na gö re, 6 ba sa mak lý kaç ta ne se vim li sa yý va dýr?
Çö züm:
Çö züm:
Sa yý al tý ba sa mak lý ol du ðu na gö re, {1, 2, 3, 4, 5, 6} kü me si nin ele man la rýn dan mey -
da na gel mek te dir. Al tý ba sa mak lý sa yý mýz abc def ol sun.
Bu na gö re, 1|a, 2|ab, 3|abc, 4|abcd, 5|abc de ve 6|abc def dir. Bu ra da a, bir ba sa -
mak lý ab, iki ba sa mak lý, abc üç ba sa mak lý, abcd dört ba sa mak lý, abc de beþ ba sa mak lý
ve abc def al tý ba sa mak lý sa yý dýr. Bu na gö re, 5|abc de ol du ðun dan e = 5 ol ma lý dýr.
2|ab, 4|abcd ve 6|abc def ol du ðun dan b, d, f{2, 4, 6} dýr.

O hal de a, c{1, 3} tür. 3|abc ol du ðun dan a + b + c = 3k, k Z + ol ma lý dýr. a,
c{1, 3} ise a + c = 4 tür. a + b + c = 3k, a + c = 4 ve b{2, 4, 6} ol du ðun dan b = 2
dir. Bu na gö re, d, f{4, 6} olur.

272 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk
272