Page 268 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 1.2 SAYMA YÖNTEMLERÝ

1. 6 × 6 lýk bir sat ranç tah ta sý na, bir bi ri nin ay ný olan üç ka le bir bi ri ni teh dit et me ye cek
þe kil de kaç de ði þik bi çim de yer leþ ti ri le bi lir? (Ýki ka le nin bir bi ri ni teh dit et me si de mek
ay ný sa týr ve ya sü tun da ol ma la rý de mek tir.)
Çö züm:
Çö züm:

Ýlk ka le ta þý ný koy mak için 6×6 = 36 fark lý yer var dýr. Ýkin ci için, ilk ön ce ko nan ta þýn
bu lun du ðu sa týr ve sü tun si li nin ce, 5×5 = 25 ve üçün cü için ise ay ný þe kil de 4×4 = 16
fark lý yer var dýr. Bu ra da ka le taþ la rý ay ný ol du ðun dan bun la rýn 3! = 6 fark lý di zi liþ

ayný di zi liþ ola ca ðýn dan ara nan du rum la rýn sa yý sý; dür.

2. A = {1, 2, 3, …, 7, 8} kü me si nin her han gi iki alt kü me si nin ke si þim kü me si nin ele -
man sa yý sý nýn 2 ol ma dý ðý üç ele man lý en çok kaç ta ne alt kü me si var dýr?
Çö züm:
Çö züm:

B , B , …, B A ol sun. |B | : B kü me si nin ele man sa yý sý ný gös ter mek üze re,
1 2 n i i
|B |=3, |B B | 2, (i, j = 1, 2, …, n) dir. Farz ede lim a A ve B , B , …, B alt
i i j 1 2 n
kü me le ri nin de dört ta ne si nin ele ma ný ol sun. (Ör ne ðin, a B , B , B , B ) Bu na gö re,
1 2 3 4
|B B | 1 (i, j = 1, 2, 3, 4). i j için B B ise
i j i j
|B B | 3 . |B B | = 1 (i, j = 1, 2, 3, 4) ol du ðun dan |A| 1 + 4 . 2 = 9 olur.
i j i j
Bu ra dan bir çe liþ ki el de edi lir. Bu na gö re A nýn alt kü me si, üç ele man lý B , B , …, B
1 2 n
kü me le rin den en faz la üçü ola bi lir. Ya ni, 3n 8 . 3 n 8 dir. Bu du ru ma ör nek ise,

B = {1, 2, 3}, B = {1, 4, 5}, B = {1, 6, 7}, B = {3, 4, 8}, B = {2, 6, 8},
1 2 3 4 5
B = {5, 7, 8}, B = {3, 5, 6}, B = {2, 4, 7} dir.
6 7 8

3. X = {1, 2, 3, …, 2013, 2014} kü me si ve ri li yor. A B ve A
B
C = X ola cak þe kil -
de kaç fark lý (A, B, C) üç lü sü var dýr.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 267