Page 264 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 1.1 SAYMA YÖNTEMLERÝ

A K D E N Ý Z

K T 1 1 1 1 T

D 1 A 3 3 A 1

E 1 4 M M 4 1
N 5 5 R R 5 5

Ý 10 E 5 5 E 10

Z F 15 10 10 15 F

Böy le ce yu ka rý dan aþa ðý ya top lam; 15 + 10 + 10 + 15 = 50 FER MAT ke li me si bu lu -
na bi lir. Ay ný þe kil de aþa ðý dan yu ka rý ya doð ru ba kýl dý ðýn da da 4 FER MAT ke li me si bu -
lu nur. Bu ra dan da top lam 54 ce va bý na ula þý lýr.

x
2
24. 2122'den kü çük po zi tif x tam sa yý la rý nýn kaç ta ne si için 2 – x sa yý sý 7 ye bö lün mez?
A) 1515 B) 1313 C) 1616 D) 1717 E) 1414
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap A)
x
x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod7) için 2 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1 (mod7) olur. Ya ni pe ri yo du 3
olan ve 1, 2, 4, 1, 2, 4, … þek lin de de vam eden bir di zi olur.
Di ðer tarf tan x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod7) ola ca ðýn dan, pe ri yo du 7 dir. Bu du rum da
2
x den ka lan lar 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1, … þek lin de ola cak týr. Bu iki sa yý di zi si nin or tak pe -
2
x
ri yo du da 21 ola ca ðýn dan, ilk 21 ta ne sin den ka çý için 2 – x sa yý sý nýn 7 ye bö lü ne bi -
le ce ði ni bu lur sak so nu ca ula þa bi li riz. Ka lan la rýn ilk 21 ta ne si ni alt al ta ya za lým.
x
2 için 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, …
2
x için 0, 2, 4, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1, …
x
2
Gö rül dü ðü gi bi, her 21 ar dý þýk x sa yý la rý için de 6 ta ne si için, 2 – x sa yý sý 7'ye bö lü -
ne cek, 21 – 6 = 15 ta ne si 7'ye bö lün me ye cek tir.
2
x
2121 = 21 . 101 ol du ðun dan 15 . 21 = 1515 ta ne x de ðe ri için 2 – x sa yý sý 7'ye bö -
lün mez.
Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 263