Page 266 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 1.1 SAYMA YÖNTEMLERÝ

27. m ve n sa yý la rý 2520 sa yý sý nýn po zi tif bö len le ri ol mak üze re, (m, n) iki li le ri ni dü þü nü -
nüz. Bu iki li ler den kaç ta ne si için n sa yý sý m yi tam bö ler?

A) 270 B) 540 C) 250 D) 455 E) 500
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap B)
x
c
y
3
a
z
b
3
2520 = 2 . 5 . 5 . 7; m = 2 . 5 . 5 . 7 d ve n = 2 . 5 . 5 . 7 t olsun.
n|m olmasý için
3 a x 0, 2 b y 0, 1 c z 0, 1 d t 0
koþullarýnýn saðlanmasý gerekir. Bu koþullarý saðlayan tam 10 tane (a, x) ikilisi, tam 6
tane (b, y) ikilisi, tam 3 tane (c, z) ikilisi ve 3 tane (d, t) ikilisi vardýr. Dolayýsýyla,
n|m olacak þekilde 10 . 6 . 3 . 3 = 540 tane (n, m) ikilisi vardýr.

28. 60 50 nin böleni olup, 50 60 ýn böleni olmayan pozitif sayýlarýn sayýsý n olsun. n
sayýsýnýn 50 ile bölümünden kalan nedir?

A) 40 B) 32 C) 35 D) 30 E) 48

Çö züm:
Çö züm:(Ce vap A)
2
60 50 = (2 . 3 . 5) 50 = 2 100 . 3 50 . 5 50 sayýsýnýn pozitif bölenlerinin sayýsý
2
101 . 51 . 51 = 101 . 51 dir. Bu sayýdan 60 50 ve 50 60 ýn ortak pozitif bölenlerinin
2 60
sayýsýný çýkarýrsak n sayýsýný elde ederiz. 50 60 = (2 . 5 ) = 2 60 . 5 120 olduðundan
dolayý,
50
60
OBEB(60 , 50 ) = 2 60 . 5 50
bulunur. Buradan, 60 50 ve 50 60 sayýlarýnýn pozitif bölenleri sayýsýnýn 61 . 51 olduðu
2
görülür. O halde, n = 101 . 51 – 61 . 51 bulunur.
Böylece, n sayýsýnýn 50 ile bölümünden kalan, (1 – 11) = –10 = 40 olur.

Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 265