Page 267 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

SAYMA YÖNTEMLERÝ ALIÞTIRMALAR VE ÇÖZÜMLERÝ 1.1

29. On da lýk ya zý lý mýn da tüm ra kam la rý çift olan po zi tif tam sa yý lar ar tan sý ray la

2, 4, 6, 8, 20, 22, 24, 26, 28, 40, 42, …

Di zi þek lin de ya zýl dý ðýn da 62048 sa yý sý di zi nin ka çýn cý te ri mi olur?

A) 2012 B) 2014 C) 2015 D) 2016 E) 2017
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap B)
2 ye rin 1, 4 ye ri ne 2, 6 ye ri ne 3 ve 8 ye ri ne 4 alýr sak du rum de ðiþ mez. Baþ ka bir de -
yiþ le Di zi nin her bir te ri mi ni 2 ye bö ler sek, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, … el -
de ede riz. Bu sa yý lar 5 ta ba nýn da ar dý þýk sa yý lar olup, 62048 sa yý sý nýn ya rý sý 31024 tür.
(31024) = (2014) olup, 62048 sa yý sý di zi nin 2014. te ri mi dir.
5 10

30. {1, 2, 3, …, 2013} kü me si nin bir A alt kü me si nin her dört ele ma nýn dan bi ri di ðe ri ne
bö lü nen iki si bu lu nur. A kü me si nin ele man sa yý sý en faz la kaç ola bi lir?

A) 11 B) 12 C) 21 D) 22 E) 30
Çö züm:
Çö züm: (Ce vap E)
10
8
2
2
2
9
A = {1, 2, 2 , …, 2 } {3, 3 . 2, 3 . 2 , …, 3 . 2 } {5, 5 . 2, 5 . 2 , …, 5 . 2 }
kü me si, her dört ele ma nýn dan bi ri di ðe ri ne bö lü nen iki si bu lun ma sý du ru mu nu sað -
lar. Çün kü 4 ele man alýn dý ðýn da bu üç kü me den bi rin den en az iki ele man alý na cak,
bun lar dan da bi ri di ðe ri ne bö lü ne cek. Bu na gö re A nýn ele man sa yý sý en çok |A| =
11 + 10 + 9 = 30 bu lu nur.
s(A)≥31 olduğunu varsayalım. a <a < <a olsun. O halde a ≥1, a ≥2, a ≥3,
1 2 31 1 2 3
3
a ≥4. {a ,a ,a ,a } sayılarından biri diğerine bölünecek ⇒a ≥2a ≥2 . Benzer şekilde
4 1 2 3 4 7 4
4
n
a ≥2 ,…, a ≥2 ≥1024 olur ve çelişki elde edilir.
10 31
266 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk