Page 178 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

8. BÖLÜM ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER

Çö züm 2:
Çö züm 2:
S ile {1, 2, 3, …, n} boþ luk lu alt kü me le ri nin sa yý sý ný be lir te lim.
n
Bu na gö re, S = 2, S = 3 ol du ðu ko lay ca gö rü lür.
1 2
S in boþ luk lu alt kü me le ri nin sa yý sý na ba ka lým. Bu kü me n + 1 i ya içe rir ya da
n + 1
içer mez.

n + 1 i içe ren kü me le re ba ka lým. n + 1 i içe ren kü me n ve n – 1 i içer mez. Ya ni bu kü -
me nin ge ri ka lan ele man la rý {1, 2, 3, …, n – 2} kü me sin den ol ma lý dýr. Bu kü me den bir -
kaç ele man al dý ðý mýz da, bun lar ken di ara la rýn da yi ne boþ luk lu kü me oluþ tur ma lý dýr. Do la -
yý sýy la n + 1 i içe ren sa yý sý S dir.
n – 2
n + 1 i içe rmeyen kü me le re ba ka lým. Bu kü me ler, {1, 2, 3, …, n} nin boþ luk lu alt kü -
me si ol ma lý dýr. Ya ni n + 1 i içer me yen S ta ne alt kü me var dýr. Bu ra dan,
n
S = S + S
n + 1 n n – 2
bu lu nur.
Bu na gö re, S = 2, S = 3, S = 4, S = 6, S = 9, S = 9 + 4 = 13,
1 2 3 4 5 6
S = 13 + 6 = 19, S = 19 + 9 = 28, S = 28 + 13 = 41, S = 41 + 19 = 60,
7 8 9 10
S = 60 + 28 = 88 ve S = 88 + 41 = 129 bu lu nur.
11 12

r nek:
Ö Ör nek:
Her se ne A, B ve C ta kým la rýn dan bi ri ni tu tan bir fut bol se ver 8 se ne bo yun ca iki se ne
art ar da ay ný ta ký mý tut ma mýþ týr. Ýlk ve son se ne ay ný ta ký mý tut tu ðu bi li ni yor sa bu, kaç yol -
la ola bi lir?

A) 96 B) 126 C) 160 D) 256 E) 510
Çö züm:
Çö züm:
8 sene ye ri ne du ru mu n için ge nel le ye lim. Ve ara nan sa yý yý a ile gös te re lim. n = 1 için
n
ya ni bir yýl için bu fut bol se ver, A, B ve C ta kým la rýn dan bi ri ni tu ta ca ðýn dan a = 3 olur.
1
n = 2 için Ýlk ve son se ne ay ný ta ký mý tut tu ðun dan a = 0 ve a = 6 dýr.
2 3
n 4 için a = 3.2 n – 2 – a ola cak. Çün kü ilk se ne 3 ta kým dan her bi ri ola bi lir, son -
n n – 1
ra ki her se ne fark lý 2 du rum ola bi lir, fa kat (n – 1). se ne de ki ta kým ilk se ne de ki ta kým la ay -
ný olur sa n. se ne de ki ta kým la ilk se ne de ki ta kým ay ný ola maz. Do la yý sýy la bu du rum la rý çý -
kart ma mýz ge re ki yor. Bun la rýn da sa yý sý tam ola rak a dir.
n – 1
Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk 177