Page 17 - OLİMPİK SONLU MATEMATİK

SAYMA YÖNTEMLERÝ

r nek:
Ö Ör nek:

4 sa yý sý bir ve ya bir den faz la po zi tif tam sa yý nýn top la mý þek lin de, sa yý la rýn yer le ri nin
de ði þi mi ni fark lý bir du rum sa ya rak, 8 fark lý þe kil de ya zý la bi lir. Bu 8 fark lý du rum

4 = 1 + 3 = 3 + 1 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1
þek lin de dir.

Ge nel ola rak, n N sa yý sý nýn yu ka rý da ki ve ri len þart la ra gö re, 2 n – 1 fark lý þe kil de ya zý -
la bi le ce ði ni gös te ri niz.
Çö züm:
Çö züm:
n ta ne 1 i yan ya na yaz dý ðý mýz da, bu 1 le rin ara sýn da "+" yer leþ ti re bi le ce ði miz n – 1 ta -
ne yer var dýr. Bu n – 1 yer de "+" iþa re ti için iki fark lý du rum var dýr. Var dýr (1) ve ya yok tur
(0). Bu da a {0, 1} için te rim sa yý sý n – 1 olan a a a … a di zin le rin sa yý sý
i 1 2 3 n
2 . 2 . … . 2 = 2 n – 1 ol ma sý de mek tir.

Ö Ör nek:
r nek:

A = {1, 2, 3, …, 9, 10} kü me si nin her han gi iki ele ma ný nýn top la mý 11 ol ma yan kaç
fark lý alt kü me si var dýr?

Çö züm:
Çö züm:
A = {1, 2, 3, …, 9, 10} kü me sin de ele man lar dan top la mý 11 olan lar 1, 10; 2, 9; …; 5,
6 dýr. Bu na gö re alt kü me de 1, 10 ele man la rý için 1 ol du ðun da, 10 ol ma ya cak ve ya 10 ol -
du ðun da 1 ol ma ya cak ve ya her iki si de ol ma ya cak. A = {1, 2, 3, …, 9, 10} kü me si ni (1, 10);
( 2, 9); …; (5, 6) þek lin de beþ iki li ye ayý rý rýz. Her iki de ki iki ele man için alt kü me de ol ma
ya da ol ma ma du ru mu üç ta ne dir. Az ön ce de be lir til di ði gi bi, bir bi ri ni 11’e ta mam la yan a
+ b = 11 için (a, b) iki li sin de, a var sa b ol ma ya cak, b var sa a ol ma ya cak ya da her iki si de
5
ol ma ya cak. Bu na gö re, beþ iki li için 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 3 = 243 bu lu nur.
O hal de, A = {1, 2, 3, …, 9, 10} kü me si nin her han gi iki ele ma ný nýn top la mý 11 ol ma -
yan 243 alt kü me si var dýr.

r nek:
Ö Ör nek:
A B = {1, 2, 3, …, 11}, A B =
, s(A) A ve s(B) B ko þul la rý ný sað la yan kaç
(A, B) iki li si var dýr?

16 Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatlarýna Hazýrlýk