Page 99 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

98 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Kuaterniyonik E¸sters Dönü¸sümler

5.9 Teorem Herhangi q bir reel kuaterniyonu ve u birim has kuaterniyonu için,
 : H → H,
q →  u (q)= −uqu
dönü¸sümü, bir e¸sters dönü¸sümdür.

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
2
i.  u ( u (q)) = q oldu˘ gunu göstermeliyiz. u birim has kuaterniyonu oldu˘ gundan u = −1
e¸sitli˘ gi vardır. Buna göre, ayrıca u = u oldu˘ gu da gözönüne alınırsa,
 u ( u (q)) =  u (−uqu)
¡ ¢
= −u −uqu u
= −u (−uqu) u
2
= u qu 2
= q
elde edilir.
ii.  ∈ R olmak üzere,  u (q 1 + q 2 )=  u (q 1 )+  u (q 2 ) oldu˘ gunu görelim.  = 
oldu˘ gundan,
¡ ¢
 u (q 1 + q 2 )= −u q 1 + q 2 u
= −uq 1 u − u (q 2 ) u
=  u (q 1 )+  u (q 2 )
elde edilir.
2
iii.  u (q 1 q 2 )=  u (q 2 )  u (q 1 ) oldu˘ gunu görelim. u = −1 oldu˘ gundan,
 u (q 1 q 2 )= −u (q 1 q 2 ) u
= −u (q 2 q 1 ) u
= u (q 2 uuq 1 ) u
=(−uq 2 u)(−uq 1 u)
=  u (q 2 )  u (q 1 )
oldu˘ gundan,  u bir e¸sters dönü¸sümdür.

Kuaterniyonik Anti ­ E¸sters Dönü¸sümler

5.10 Teorem Herhangi q bir reel kuaterniyonu ve u birim has kuaterniyonu için,
 : H → H,
 →  u (q)= −uqu
dönü¸sümü, bir anti­e¸sters dönü¸sümdür.