Page 98 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Yansıma 97

Kuaterniyonik E¸sters Dönü¸sümler (Quaternion Involution)

¨ ¥
5.4 F E¸sters Dönü¸sümler (Involutions) F
§ ¦
Tersi kendisine e¸sit olan dönü¸sümlere, e¸sters dönü¸sümler denir. ˙ Involution kelimesini
matematiksel olarak Türkçe’ye e¸sters biçiminde çevirebiliriz. Yani, tersi kendisine e¸sit olan
anlamındadır. Örne˘ gin, involutif matris (e¸sters matris) deyince,
2
 =  veya  = 
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan matris anla¸sılır. Yine e¸sters (involutif) fonksiyon denilince de;

 ( ()) = 
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan fonksiyon anla¸sılır. Bu dönü¸süm, aldı˘ gı bir elemanı farklı bir elemana
götürse de, sonrasında dönü¸süm tekrar uygulanarak yine aynı elemana geri getirir. Örne˘ gin,
 ()= −  ()=  −1
dönü¸sümleri birer e¸sters dönü¸sümlerdir.

 ( ()) =  ve  ( ()) = 
oldu˘ gu kolayca görülebilir.

Yine , Öklid uzayında yansıma (simetri) dönü¸sümleri birer e¸sters dönü¸sümlerdir. Bir 
yansıma dönü¸sümü, bir  noktasını  () noktasına yansıtır, tekrar yansıtma ba¸ska bir deyi¸sle
simetri alma durumunda ba¸sladı˘ gımız yere geri dönmü¸soluruz. ¸Simdi, kuaterniyon e¸sters ve
anti e¸ster dönü¸sümünü inceleyelim.

¨ ¥
5.5 F Kuaterniyonik E¸sters Dönü¸sümler (Quaternion Involutions) F
§ ¦
H kuaterniyonlar kümesinde tanımlanan,
 : H → H,
q →  (q)
dönü¸sümü için,
i.  ( (q)) = q,
ii.  (q 1 + q 2 )=  (q 1 )+  (q 2 )
iii.  (q 1 q 2 )=  (q 2 )  (q 1 )
e¸sitlikleri sa˘ glanıyorsa,  dönü¸sümüne bir kuaterniyonik e¸sters dönü¸sümü denir. E˘ ger,
üçüncü ko¸sul sa˘ glanmıyor, fakat

 (q 1 q 2 )=  (q 1 )  (q 2 )
e¸sitli˘ gi sa˘ glanıyorsa, bu durumda da  dönü¸sümüne bir kuaterniyonik anti e¸sters
dönü¸sümü denir.