Page 93 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

92 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 5.8

 =  − 1= do˘ grusunun, 2 +2 +  =5 düzlemine göre simetri˘ gi olan do˘ grunun denklemini
2
bulunuz.

Çözüm : Önce, u =(1 1 2) do˘ grultman vektörünün, 2 +2 +  =5 düzlemine göre simetri˘ gi olan
u vektörünü bulalım.
0
1
u 0 = nun = (2i +2j + k)(i + j +2k)(2i +2j + k)
9
1 1
= (−2+ i − j)(2i +2j + k)= (−4i − 4j − 2k − i − j +4k)
3 3
5 5 2
= − i − j + k
3 3 3
oldu˘ gundan, simetrik do˘ grunun do˘ grultmanı u =(−5 −5 2) olur. Di˘ ger yandan, do˘ grunun üzerindeki
0
 =(0 1 0) noktasının düzleme göre simetri˘ gi :  =(1 1 1) düzlem üzerinde bir nokta olmak üzere,
 0 =  + n ( − ) n
1
= i + j + k + (2i +2j + k)(−i − k)(2i +2j + k)
9
1
= i + j + k + (3 − 2i + j +2k)(2i +2j + k)
9
1
= i + j + k + (3 (2i +2j + k) − 3i +6j − 6k)
9
4 7 2
= i + j + k
3 3 3
bulunur. Böylece, istenen simetrik do˘ grunun denklemi :
 − 43  − 73  − 23
= =
−5 −5 2
olur.
2. yol. Do˘ gru üzerinde iki nokta olarak,  =(0 1 0) ve  =(1 2 2) alalım.  =(1 1 1) noktası
düzlem üzerinde bir noktadır. Buna göre,

 0 =  + n ( − ) n
1
=(i + j + k)+ (2i +2j + k)(−i − k)(2i +2j + k)
9
1
=(i + j + k)+ (3 − 2i + j +2k)(2i +2j + k)
9
1
=(i + j + k)+ (3 (2i +2j + k) − 3i +6j − 6k)
9
4 7 2
= i + j + k
3 3 3