Page 92 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Yansıma 91

2. yol. Düzlem üzerinde bir  =(1 1 1) noktası alalım. Buna göre,  noktasının simetri˘ gini bulalım.
1 1 2
Bir önceki örnekte,  = i − j − k olarak bulmu¸stuk. Benzer ¸sekilde,
0
3 3 3
0
 =  + n ( − ) n
e¸sitli˘ ginden,  −  =(1 −1 0) dan,
1
 0 =(i + j + k)+ (2i + j +2k)(i − j)(2i + j +2k)
9
1
=(i + j + k)+ (−1+2i +2j − 3k)(2i + j +2k)
9
1
=(i + j + k)+ (−1(2i + j +2k)+7i − 10j − 2k)
9
14 2 5
= i − j + k
9 9 9
elde edilir. Buradan,
−−−→ 11 1 11
0 0 0 0 0
v =   =  −  = − i − j − k
9 9 9
bulunabilir.

Örnek 5.7
 =(3 1 2) noktasının, 2 +  +2 =5 düzlemine göre simetri˘ gini, kuaterniyon çarpımı yardımıyla
hesaplayınız.

Çözüm : Düzlem üzerindeki bir nokta  =(1 1 1) alınabilir. Buna göre,
−→
v =  =  −  =(3 1 2) − (1 1 1) = (2 0 1) = 2i + k
e¸sitli˘ ginden,

−−→
 =  −  = nvn
0
0
1
olacaktır. Böylece, n = (2i + j +2k) oldu˘ gundan,
3
1 1
nv = (2i + j +2k)(2i + k)= ((−4 − 2) + i +2j − 2k)
3 3
1
= (−6+ i +2j − 2k)
3
ve
1 1
nvn = (−6+ i +2j − 2k)(2i + j +2k)= (−6(2i + j +2k)+ 6i − 6j − 3k)
9 9
1
= − (2i +4j +5k)
3
elde edilir. Buradan,
1
0
 −  = nvn = − (2i +4j +5k)
3
e¸sitli˘ ginden
1 1 1 2
0
 = − (2i +4j +5k)+(i + j + k)= i − j − k
3 3 3 3
bulunur.