Page 91 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

90 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

˙
Kuaterniyonlarla Orjinden Geçmeyen Bir Do˘ gruya Göre Yansımasının Incelenmesi

5.8 Teorem Herhangi bir noktası  olan bir L u do˘ grusu verilsin. R uzayında verilen
3
−→
bir  noktasının L u do˘ grusuna göre simetri˘ gi,  olsun.  = v olmak üzere,
0
 L : R 3 → R 3
v →  L (v)= −uvu
−−→
dönü¸sümü, v vektörünün L n do˘ grusuna göre simetri˘ gini, dolayısıyla da,  L (v)=  0
e¸sitli˘ ginden,  noktasının koordinatlarını verir. Buna göre, noktasal olarak ifade edecek
0
olursak,
 L : R 3 → R 3
0
v →  L ()=  −  = −u ( − ) u
e¸sitli˘ ginden,  =  − u ( − ) u ile belirlidir.
0
A
v  v   v ∥
v  v
O n
v ∥
P
Y(v) A ı
­ v 
v 

−−→ −→ −−→
Sonuç 5.2 Herhangi bir v =  =  +  vektörünün, birim do˘grultmanı u olan ve 
noktasından geçen bir L n do˘grusuna göre simetri˘gi :

0
 =  − u ( − ) u ve  =  − u ( − ) u
0
olmak üzere,
−−→
0
0
0
0
v 0 =   =  −  =  − u ( − ) u −  + u ( − ) u
= −u ( −  −  + ) u = −u ( − ) u = −uvu
ile belirlidir.
Örnek 5.6
−−→
 =(3 1 2) ve  =(2 0 1) olmak üzere, v =  vektörünün 2 +  +2 =5 düzlemine göre
simetri˘ gini, kuaterniyon çarpımı yardımıyla hesaplayınız.
Çözüm : nvn çarpımı bize istenen v vektörünü verecektir.
0
1
v =(1 1 1) ve n = (2i + j +2k)
3
oldu˘ gundan,
1 1
nvn = (2i + j +2k)(i + j + k)(2i + j +2k)= (−5 − i + k)(2i + j +2k)
9 9
1 11 1 11
= (−5(2i + j +2k)+(−i +4j − k)) = − i − j − k
9 9 9 9
bulunur.