Page 94 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Yansıma 93

ve

 0 =  + n ( − ) n
1
=(i + j + k)+ (2i +2j + k)(j + k)(2i +2j + k)
9
1
=(i + j + k)+ (−3+ i − 2j +2k)(2i +2j + k)
9
1
=(i + j + k)+ (−3(2i +2j + k) − 6i +3j +6k)
9
1 2 4
= − i + j + k
3 3 3
olur.  ve  noktalarından geçen do˘ gru ise,
0
0
 +13  − 23  − 43
= =
43+13 73 − 23 23 − 43
e¸sitli˘ ginden
 +13  − 23  − 43
= =
5 5 −2
elde edilir ki, bu do˘ gru ile birinci yöntemde bulunan do˘ gru aynı do˘ grudur.

Örnek 5.9

L 1 :  =  − 1= 2 do˘ grusunun, L u :  − 1=  =  do˘ grusuna göre simetri˘ gi olan do˘ grunun
denklemini bulunuz.

Çözüm : Do˘ grultmanı v =(1 1 2) olan L 1 do˘ grusunun, do˘ grultmanı u =(1 1 1) olan L u do˘ grusuna
göre simetri˘ gi L olsun. L do˘ grusunun do˘ grultmanı v = −uvu ile belirlidir. Buna göre,
0
0
0
1 1
1
v 0 = − (i + j + k)(i + j +2k)(i + j + k)
3
1 −1
= − (−4+ i − j)(i + j + k)= (−4i − 4j − 4k − i − j +2k)
3 3
1
= (5i +5j +2k)
3
bulunur. Di˘ ger yandan, L 1 do˘ grusu üzerindeki bir  =(0 1 0) noktasının, L u do˘ grusuna göre
simetri˘ gi de,  =(1 0 0), L u üzerindeki bir nokta olmak üzere,
 =  − u ( − ) u
0
£ ¤
ile belirlidir. Buradan,(−1 −1 2) × (1 1 1) = −330
1
 0 = i − (i + j + k)(−i + j)(i + j + k)
3
1 1
= i − (−i − j +2k)(i + j + k)= i − (−3i +3j)= 2i − j
3 3