Page 90 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Yansıma 89

Orjinden Geçmeyen Bir Do˘ gruya ve Düzleme Göre Yansıma

Yukarıda, orjinden geçen do˘ gruya ve düzleme göre, kuaterniyon çarpımını kullanarak, bir
vektörün veya noktanın simetri˘ gini nasıl bulaca˘ gımızı gördük. ¸Simdi, orjinden geçmeyen
do˘ grular ve düzlemlere göre simetrinin nasıl alınaca˘ gını görelim. Bu teoremlerin kanıtları,
tamamen orjinden geçen do˘ gru ve düzlemler için yapılanlara benzerdir.

˙
Kuaterniyonlarla Orjinden Geçmeyen Bir Düzleme Göre Yansımasının Incelenmesi

3
5.7 Teorem Herhangi bir noktası  olan bir D n düzlemi verilsin. R uzayında verilen
−→
bir  noktasının D n düzlemine göre simetri˘ gi,  olsun.  = v olmak üzere,
0
 D : R 3 → R 3
v →  D (v)= nvn
−−→
dönü¸sümü, v vektörünün D n düzlemine göre simetri˘ gini, dolayısıyla da,  D (v)=  0
e¸sitli˘ ginden,  noktasının koordinatlarını verir. Buna göre, noktasal olarak ifade edecek
0
olursak,
 D : R 3 → R 3
0
v →  D ()=  −  = n ( − ) n
e¸sitli˘ ginden,

0
 =  + n ( − ) n
ile belirlidir.

A n
n v

P
Y(v)

−−→ −→ −−→
Sonuç 5.1 Herhangi bir v =  =  +  vektörünün, birim normali n olan ve 
noktasından geçen bir  n düzlemine göre simetri˘gi :

0
0
 =  + n ( − ) n ve  =  + n ( − ) n
olmak üzere,
−−→
0
v 0 =   =  −  =  + n ( − ) n −  − n ( − ) n
0
0
0
= n ( −  −  + ) n
= n ( − ) n
= nvn
ile belirlidir.