Page 85 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

84 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Kuaterniyonlarla Yansıma Dönü¸sümü

Herhangi orjinden geçen bir D düzlemini birim has kuaterniyonla, yani bir birim n normal
vektörüyle ifade edebiliriz. Bu bölümde, D n ile birim normali n olan, orjinden geçen bir düz­
lemi gösterece˘ giz. Burada, n vektörünün birim oldu˘ guna dikkat ediniz. A¸sa˘ gıdaki teoremde,
kuaterniyon çarpımı yardımıyla, bir vektörü has kuaterniyon olarak alıp, bir düzleme göre
simetri˘ ginin nasıl elde edilebilece˘ gini görece˘ giz.

Bir Vektörün Düzleme Göre Yansıması

˙
Kuaterniyonlarla Orjinden Geçen Bir Düzleme Göre Yansımasının Incelenmesi

5.5 Teorem Orjinden geçen bir D n düzlemi verilsin.  noktasının D n düzlemine
−→
göre simetri˘ gi,  olsun.  = v olmak üzere,
0
 D : R 3 → R 3
v →  D (v)= nvn
−−→
dönü¸sümü, v vektörünün D n düzlemine göre simetri˘ gini, dolayısıyla da,  D (v)=  0
e¸sitli˘ ginden,  noktasının koordinatlarını verir. Noktasal olarak ifade edersek, v = −
0
ve  D (v)=  −  oldu˘ gundan,
0
0
 = nn
ile yazılır.

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
Herhangi bir vektörü, biri D n düzlemine dik, di˘ ger D n düzleminde yer alan iki vektörün
toplamı olarak yazabiliriz.

v = v ⊥ + v k
biçiminde ifade edelim.

v  v   v ∥ A n
v ∥ v

v 
O

Y(v) A ı

Burada, v ile n vektörüne paralel olan, yani düzleme dik olan, v ⊥ ile ise düzlemin içinde yer
k
alan, yani n vektörüne paralel olan vektörü gösteriyoruz. Böylece, herhangi v vektörü için,
¡ ¢
 D (v)= n v ⊥ + v n = nv ⊥ n + nv n
k k
olur. ¸Simdi, nv ⊥ n ve nv n çarpımlarını hesaplayalım. Has kuaterniyonlar için,
k
pq = − hp qi + p × q