Page 83 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

82 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

2
2
i

5.1 Alıştırma R uzayında, v =9i+j−k vektörünün, birim normali n = + j+ k olan düzleme
3
3 3 3
göre simetri˘ gini bulunuz.
Yanıt : (7 −3 −5).
Cartan Diodenne Teoremi

Cartan Diodenne Teoremi


5.3 Teorem R uzayında her ortogonal matris en fazla  yansıma matrisinin çarpımı
olarak yazılabilir.

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
Kanııtımızı tümevarımla yapaca˘ gız. Kabul edelim ki,  − 1 için, iddiamız do˘ gru olsun. Yani,
ortogonal bir

 ∈ M −1×−1 (R)
matrisi, 0 ≤  ≤  − 1 için

 =  1  2 ·· ·  
formunda yazılabilsin. ¸Simdi,  boyut için iddiamızın do˘ gru oldu˘ gunu gösterelim.   × 
türünden ortogonal bir matris olsun. R uzayının standart tabanını {e 1  e 2  e  } göstermek

üzere, kabul edelim ki

e  = u

olsun. Ayrıca, R uzayında u vektörünü, e  vektörüne götüren bir  matrisi vardır. Buna
göre,
e  =  (u)=  (e  )= () e 
yazılabilir. Bu e¸sitlikte,  =  diyelim.  matrisi, e  vektörünü de˘ gi¸stirmeyen bir matristir.
Di˘ ger yandan,  ortogonal ve  yansıma matrisi oldu˘ gundan,  =  matrisi de ortogonal

⊥
bir matristir. R −1 uzayı, R uzayının, e altuzayı veya hiperdüzlemi olarak kabul edilebilir.

Çünkü,  =  matrisi, R −1 uzayındaki bir vektörü, yine R −1 uzayındaki bir vektöre
götürür. ­inci bile¸seni ise de˘ gi¸stirmez. Kabulümüzden  =  1  2 ···   , 0 ≤  ≤  − 1
oldu˘ gundan,
 =  1  2 ···  
veya

 = 
olmalıdır.  =  +1 denilirse,  yansıma matrisi oldu˘ gundan,  =  olacaktır. Böylece,
2
 +1  =  1  2 ···   ⇒  =  +1  1  2 ·· ·  
olacaktır ki, bu  matrisinin de en fazla  tane yansıma matrisinin çarpımı olarak yazılabilmesi
demektir.