Page 78 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme 77

4.10 Alıştırma n =(1 0 1) vektörüne dik olan düzlemde 90 açısı kadar dönmeyi ifade eden kuater­
◦
√
niyonu ve matrisi bulunuz. u =(3 2 7) vektörü n vektörüne dik düzlemde 90 dönmesi durumunda
◦
hangi vektör elde edilir?
√
 
1 − 2 1
√ 1 √ √ √
Yanıt : q = 22+ i2+ k2 R q =  2 0 − 2   R q (u)=(4 −2 2 6)
2 √
1 2 1

4.11 Alıştırma n =(1 1 1) vektörüne dik olan düzlemde 60 açısı kadar dönmeyi ifade eden
◦
kuaterniyonu ve matrisi bulunuz.  =(1 2 0) noktasının, bu dönme hareketi sonrası koordinatı ne
olur?
 
2 −1 2
√ √ √ √ 1
Yanıt : q = 32+ i 36+ j 36+ k 36 R q =  2 2 −1   R q (u)=(0 2 1)
3
−1 2 2

4.12 Alıştırma Uzayda,  =  =  do˘ grusu etrafında, 90 dönmeyi ifade eden kuaterniyonu ve
◦
2 2
dönme matrisini bulunuz.  (1 1 9) noktası, bu do˘ gru etrafında 90 döndürülürse hangi nokta elde
◦
edilir?
 
4 −4 7
√ √ √ √ 1
Yanıt : q = 22+ i 23+ j 26+ k 23 R q =  8 1 −4   R q (u)=(7 −3 5)
9
1 8 4

4.13 Alıştırma u =(1 0 1) vektörünü, v =(1 1 0) vektörüne döndüren birim kuaterniyonu,
dönme açısını ve eksenini ve bu kuaterniyona kar¸sılık gelen dönme matrisini bulunuz.
 
2 −2 1
√ √ √ √ √ 1
Yanıt :  =60  n =(−1 1 1)  3 q = 32−i 36+j 36+k 36 R q =  1 2 2  
◦
3
−2 −1 2

4.14 Alıştırma Birim küre üzerinde  =(1 0 0) noktasını,  =(0 0 1) noktasına götüren, dönme
dönü¸sümüne kar¸sılık gelen kuaterniyonu bulunuz ve dönme dönü¸sümünü ifade ediniz. Dönme hareke­
tinin hangi düzlemde kaç derecelik açıyla olu¸stu˘ gunu bulunuz.
 
0 0 −1
√ √
Yanıt :  =90  n =(0 −1 0)  q = 22 − j 22 R q =  0 1 0  
◦
1 0 0

4.15 Alıştırma 2 +2 +  =1 düzleminde 90 lik dönme yaptıran birim kuaterniyonu bulunuz,
◦
matrisini yazınız.
 
4 1 8
√ √ √ √ 1
Yanıt : q = 22+ i 23+ j 23+ k 26 R q =  7 4 −4  
9
−4 8 1

4.16 Alıştırma A¸sa˘ gıdaki birim kuaterniyonların hangi eksen etrafından kaç derecelik dönmeifade
ettiklerini belirleyiniz.
√
1
1
1
1
a) q 1 = 2 + i + k b) q 2 = √ i + √ j
2 2 2 2 2
1 √ 3 1 1 1 1
c) q 3 = + 2 j d) q 4 = + i − j + k
2 2 2 2 2
◦
◦
◦
Yanıt : a)  =90  n =(1 0 1)  b)  =180  n =(1 1 0)  c)  =120  n =(0 1 0)  d)  = 120 
◦
n =(1 −1 1) 